Wahrscheinlichkeitsberechnungen spielen in vielen Bereichen, in denen Entscheidungen basierend auf Daten und Statistiken getroffen werden müssen, eine wichtige Rolle. Eines der wichtigsten Konzepte in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Gruppe von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden. Eine solche Gruppe besteht aus mehreren Ereignissen, die sich gegenseitig ausschließen, das heißt, es ist unmöglich, dass sie gemeinsam auftreten.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins. Die Formel für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten lautet in diesem Fall wie folgt: P(A1) + P(A2) + . + P(An) = 1 wo ist P(A1), P(A2), . P(An) - die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis aus der Gruppe eintritt.
Wir geben Ihnen ein Beispiel, um diese Formel anschaulich zu veranschaulichen. Angenommen, wir haben ein 52-Karten-Deck und möchten die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von drei möglichen Ereignissen berechnen: ziehen Sie die Spitzenkarte heraus, ziehen Sie die Herzkarte heraus und ziehen Sie die Kreuzkarte heraus.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Pik-Karte zu entfernen, beträgt 13/52 = 1/4, da es 52 Karten im Deck gibt und davon 13 Pik-Karten. Die Wahrscheinlichkeit, eine Herzkarte zu entfernen, beträgt ebenfalls 13/52 = 1/4. Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, die Karte des Clubs zu entfernen, 13/52 = 1/4.
In der Summe erhalten wir: 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4. Es gibt noch eine weitere nicht ausgewählte Gruppe - Karo-Karten, deren Wahrscheinlichkeit ebenfalls 1/4 beträgt. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller vier Ereignisgruppen ist 1, was der Formel für die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen entspricht, die eine vollständige Gruppe bilden.
Bestimmen der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden
Diese Formel zeigt an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse aus einer vollständigen Gruppe eintritt, gleich eins ist. Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Ereignisses sollten insgesamt eins ergeben, da das Ereignis stattfinden muss oder nicht - es gibt keine anderen Alternativen.
Betrachten Sie zum Beispiel das Spiel, das die richtige Münze wirft. Ereignis A1 es wird ein Ausfall des Wappens sein, und das Ereignis ist A2 - die Zahl fällt aus. Die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses beträgt 0.5. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist 0.5 + 0.5 = 1, was der Haupteigenschaft der Wahrscheinlichkeit entspricht.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist ein wichtiges Instrument in der Wahrscheinlichkeitstheorie, mit dem Sie die Richtigkeit der durchgeführten Berechnungen überprüfen und mögliche Fehler erkennen können.
Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitssumme
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, wird mit einer Formel ausgedrückt:
- $$P(A_1), P(A_2), . P(A_n)$$ - Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse
Diese Formel basiert darauf, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der Ereignisse einer vollständigen Gruppe auftritt, gleich eins sein muss.
Betrachten Sie zum Beispiel ein Experiment zum Werfen eines normalen sechseckigen Würfels. In diesem Fall sind die Ereignisse, die eine vollständige Gruppe bilden, die Ausfallzahlen von 1 bis 6. Die Wahrscheinlichkeit, dass jede einzelne Zahl fällt, ist $$\frac$$. Mit der Formel können wir sicherstellen, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ist:
Die Summe der Wahrscheinlichkeit, dass jede einzelne Zahl fällt, beträgt also eins, was der Erwartung entspricht.
Beispiele für Berechnungen
Um die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, besser zu verstehen, betrachten wir einige Beispiele für Berechnungen.
Lassen Sie uns ein Experiment durchführen, bei dem das Herausfallen der Flächen eines Würfels ein Ereignis ist. Insgesamt hat der Würfel 6 Flächen, bezeichnen wir das Ereignis "gerade Zahlenausfallung" als A und das Ereignis "ungerade Zahlenausfallung" als B. Schreiben wir die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse auf:
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| A: Gerade Zahl fällt aus | P(A) = 3/6 = 1/2 |
| B: eine ungerade Zahl fällt aus | P(B) = 3/6 = 1/2 |
Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, sind die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B 1/2, und ihre Summe beträgt 1 (1/2 + 1/2 = 1), was die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestätigt, die eine vollständige Gruppe bilden.
Betrachten Sie das klassische Problem über einen Würfel. Wir haben einen Standardknochen mit 6 Flächen, auf denen die Zahlen 1 bis 6 geschrieben sind. Wenn wir einen Knochen werfen, wird jeder Fall einer Zahl ein Ereignis sein. Bezeichnen wir das Ereignis "gerade Zahlen fallen lassen" als A und das Ereignis "ungerade Zahlen fallen lassen" als B. Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen:
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| A: ausfall einer geraden Zahl | P(A) = 3/6 = 1/2 |
| B: Ungerade Zahl fällt aus | P(B) = 3/6 = 1/2 |
Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A und die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B 1/2 sind und ihre Summe 1 ist (1/2 + 1/2 = 1), was die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestätigt, die eine vollständige Gruppe bilden.
Beispiel 1: Würfeln
In diesem Fall ist die Gesamtzahl der elementaren Ergebnisse 6, da es 6 Flächen auf dem Würfel gibt.
Um die Anzahl der elementaren Ergebnisse zu bestimmen, die Ereignis A begünstigen, können wir uns auf eine Menge von geraden Zahlen beziehen, die Zahlen enthält . Daher ist die Anzahl der elementaren Ergebnisse, die das Ereignis A begünstigen, 3.
Um die Anzahl der elementaren Ergebnisse zu bestimmen, die Ereignis B begünstigen, können wir uns ebenso auf eine Menge von ausfallenden Zahlen beziehen, die ein Vielfaches von drei sind, die nur die Zahl 6 enthält. Daher ist die Anzahl der elementaren Ergebnisse, die Ereignis B begünstigen, 1.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A 3/6 = 1/2 und die Wahrscheinlichkeit von Ereignis B ist 1/6.
Es sollte beachtet werden, dass die Ereignisse A und B eine vollständige Gruppe bilden, da jedes Elementarergebnis entweder zu Ereignis A oder zu Ereignis B gehört. Daher ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B 1/2 + 1/6 = 2/3.
Beispiel 2: Auswählen von Kugeln aus einer Urne
Um dieses Problem zu lösen, können wir uns alle möglichen Ergebnisse dieses Experiments vorstellen. Insgesamt gibt es 10 mögliche Ergebnisse:
| № | 1. Kugel | 2. Kugel |
|---|---|---|
| 1 | blau | blau |
| 2 | blau | blau |
| 3 | blau | rot |
| 4 | blau | rot |
| 5 | blau | blau |
| 6 | rot | blau |
| 7 | rot | rot |
| 8 | rot | rot |
| 9 | rot | blau |
| 10 | rot | rot |
Von diesen 10 Ergebnissen entsprechen nur 3 den Bedingungen des Problems, dh der erste Ball ist blau und der zweite ist rot:
| № | 1. Kugel | 2. Kugel |
|---|---|---|
| 3 | blau | rot |
| 4 | blau | rot |
| 9 | rot | blau |
Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel bei zufälliger Auswahl von zwei Kugeln aus der Urne blau und die zweite rote Kugel ist, beträgt also 3/10 oder 0.3.
Beispiel 3: Werfen einer Münze
Angenommen, wir haben 100 Mal eine Münze geworfen und möchten die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis berechnen. Lassen Sie uns das Ereignis A - den Fall des Adlers und das Ereignis B - den Fall der Zahl festlegen.
| Ereignis | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|
| A - Der Fall des Adlers | 50% |
| B - Zahlenabfall | 50% |
Da Adler und Zahl die Ereignisse ausschließen und eine vollständige Gruppe bilden (alle möglichen Ergebnisse), beträgt die Summe der Wahrscheinlichkeiten 100% oder 1.
Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Adlers 0.5 oder 50%, und die Wahrscheinlichkeit eines Zahlenfalls beträgt ebenfalls 0.5 oder 50%.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die eine vollständige Gruppe bilden, ist gleich eins. Dies bedeutet, dass bei der Untersuchung aller möglichen Ergebnisse eines bestimmten Falles die Wahrscheinlichkeit eines dieser Ergebnisse unbedingt auftreten wird. Diese wichtige Regel erlaubt es uns, Wahrscheinlichkeiten zu nutzen, um verschiedene Situationen im Leben vorherzusagen und zu bewerten.
Sie können die Summe der Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem Sie die Wahrscheinlichkeiten jedes einzelnen Ereignisses kennen. Um dies zu tun, müssen Sie die Wahrscheinlichkeitswerte aller Ereignisse addieren, die eine vollständige Gruppe bilden. Dabei sollte der Gesamtbetrag gleich eins sein.
Die Kenntnis dieser Formel und die Fähigkeit, sie anzuwenden, ermöglicht die Analyse und Vorhersage verschiedener wahrscheinlichkeitsbezogener Situationen. Dies ist besonders nützlich in Statistiken, Mathematik, Wirtschaft und anderen Bereichen, in denen die Wahrscheinlichkeit verschiedener Ereignisse beurteilt werden muss.
