Die Lösung einer quadratischen Gleichung ist eine weitere Aufgabe aus dem Lehrplan, die regelmäßig von Gymnasiasten und Studenten gelöst wird. Eines der wichtigsten Merkmale einer quadratischen Gleichung ist ihre Diskriminanz.
Ein Diskriminant ist ein Wert, der hilft, die Anzahl und Art der Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Wenn die Diskriminante 0 ist, hat die Gleichung eine einzige Wurzel. In diesem Fall hat die Gleichung gleiche Wurzeln - sie befinden sich an einem Punkt des Diagramms der quadratischen Funktion.
Die Formel zur Berechnung des Diskriminanten hat eine einfache Form. Wenn es eine quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 gibt, wird ihre Diskriminanz mit der Formel berechnet: D = b2 - 4ac. Wenn der Wert des Diskriminanten Null ist, bedeutet dies, dass der untergeordnete Ausdruck b2 - 4ac ebenfalls Null ist.
Was ist Diskriminanz und wie kann ich es berechnen
Die Berechnung des Diskriminanten für eine quadratische Gleichung der Form ax2 + bx + c = 0 erfolgt nach der Formel:
| Typ der Gleichung | Formel zur Berechnung von Diskriminanten |
|---|---|
| Allgemeine quadratische Gleichung | D = b² - 4ac |
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel, deren Multiplizität zwei ist.
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, sondern zwei komplexe Wurzeln.
Die Berechnung des Diskriminanten ermöglicht es uns, Informationen über die geometrische Natur der Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu erhalten und verschiedene mathematische Probleme im Bereich der Algebra und der Physik zu lösen. Dieser Indikator ist eines der Schlüsselkonzepte beim Studium quadratischer Gleichungen und spielt eine wichtige Rolle bei ihrer Analyse und Lösung.
Definition und Formel von Diskriminanz
Diskriminante = b^2 - 4ac
- b, a, und c - dies sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung ax^2 + bx + c = 0
Betrachten wir nun, welchen Wert ein Diskriminant annehmen kann und wie sich dies auf die Wurzeln einer quadratischen Gleichung auswirkt:
Wie berechnet man die Diskriminanz einer quadratischen Gleichung?
D = b^2 - 4ac
Durch den Wert des Diskriminanten können Sie den Wurzeltyp einer quadratischen Gleichung bestimmen:
- Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn D = 0 dann hat die Gleichung eine reelle Wurzel, die zweimal ein Vielfaches ist.
- Wenn D < 0, dann hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, nur komplexe.
Betrachten wir ein Beispiel. Lass uns eine quadratische Gleichung haben x^2 + 3x + 2 = 0. Um die Diskriminanz zu berechnen, wissen wir, dass der Koeffizient a ist gleich 1, der Koeffizient b ist 3 und der Koeffizient ist c ist gleich 2. Ersetzen wir diese Werte in die Formel:
D = 3^2 - 4 * 1 * 2
D = 9 - 8
D = 1
Diskriminante Bedeutung erhalten D = 1. Weil D > 0. die Gleichung hat zwei verschiedene reelle Wurzeln.
Jetzt, da Sie wissen, wie Sie die Diskriminante einer quadratischen Gleichung berechnen können, können Sie ihre Art und Anzahl der Wurzeln leicht bestimmen.
Wenn der Diskriminant 0 ist
D = b 2 - 4ac
Wenn die Diskriminante 0 ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat. In diesem Fall müssen Sie die folgende Formel verwenden, um diese Wurzel zu finden:
x = -b / 2a
Wenn also die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung eine einzige Wurzel und wird mit der Formel x = -b / 2a berechnet.
Betrachten Sie ein Beispiel für eine quadratische Gleichung:
D = (4) 2 - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0
Da die Diskriminante 0 ist, hat die Gleichung eine einzige Wurzel. Wir verwenden die Formel:
x = -4 / (2 * 2) = -1
Die Wurzel der Gleichung 2x 2 + 4x + 2 = 0 ist also -1.
Wenn die Gleichung eine einzelne Wurzel hat
Wenn die Diskriminante Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung nur eine Wurzel hat. Diese Wurzel kann abhängig von den Werten der Koeffizienten real oder komplex sein. Im Falle einer einzelnen Wurzel kann die quadratische Gleichung in der folgenden Form geschrieben werden: ax2 + bx + c = 0.
Betrachten Sie die quadratische Gleichung 3x2 + 6x + 3 = 0.
Wir berechnen den Diskriminanten anhand der Formel D = b2 - 4ac:
D = (6)² - 4 * 3 * 3 = 36 - 36 = 0.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung nur eine Wurzel.
Daher wird die Lösung dieser Gleichung x = -b / 2a sein.
Ersetzen Sie die Werte der Koeffizienten in die Formel:
x = -6 / (2 * 3) = -6 / 6 = -1.
Daher hat die Gleichung 3x2 + 6x + 3 = 0 eine Wurzel x = -1.
Beispiele für Gleichungen mit einem Diskriminanten von 0
Gleichungen, bei denen die Diskriminante 0 ist, beschreiben einen speziellen Fall quadratischer Gleichungen. In solchen Gleichungen gibt es nur eine Lösung, die eine doppelte Wurzel sein wird. Betrachten wir einige Beispiele für solche Gleichungen und ihre Lösungen:
| Ein Beispiel | Gleichung | Die Entscheidung |
|---|---|---|
| Beispiel 1 | x^2 - 6x + 9 = 0 | x = 3 |
| Beispiel 2 | 4x^2 - 12x + 9 = 0 | x = 1.5 |
| Beispiel 3 | 9x^2 - 30x + 25 = 0 | x = 1.67 |
Alle diese Beispiele haben die gleiche Diskriminanz von 0. Wie aus der Tabelle ersichtlich ist, hat jede Gleichung nur eine Wurzel, die zweimal vorkommt. Diese Wurzel wird als Doppelwurzel bezeichnet. Gleichungen mit einem Diskriminanten von 0 sind speziell, da sie nur eine Lösung haben.
Wenn die Diskriminanz kleiner als 0 ist
In einer quadratischen Gleichung der allgemeinen Form a𝑥2 + b𝑥 + c = 0 wird der Diskriminant als 𝐷 =2-42-4 определяется definiert.
Komplexe zahlen werden in der Form 𝑥 = 𝑟 ± 𝑖𝑠, wo 𝑟 und 𝑠 - reelle zahlen, sondern 𝑖 - imaginäre Einheit (i2 = -1).
Daher werden die Lösungen der Gleichung komplexe Zahlen sein, die die Form haben:
Betrachten Sie eine quadratische Gleichung 2𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0.
Die Diskriminanz dieser Gleichung ist gleich 𝐷 = 42 - 4 * 2 * 3 = 16 - 24 = -8.
Wir können d durch seinen absoluten Wert ersetzen und erhalten |𝐷| = |-8| = 8.
Mit der Formel finden wir die Wurzeln:
𝑥₁ = (−4 + 𝑖√8) / (2 * 2) = (−4 + 2𝑖√2) / 4 = −1 + 0.5𝑖√2
𝑥₂ = (−4 - 𝑖√8) / (2 * 2) = (−4 - 2𝑖√2) / 4 = −1 - 0.5𝑖√2
Daher sind die Lösungen für diese Gleichung die komplexen Zahlen -1 + 0.5√√2 und -1 - 0.5√√2.
Wenn die Gleichung keine gültigen Wurzeln hat
Die Gleichung mit negativem Diskriminanten hat keine gültigen Wurzeln, kann aber komplexe Wurzeln haben. Wenn eine quadratische Gleichung einen negativen Diskriminanten ergibt, bedeutet dies, dass die Gleichung keine gültigen (realen) Wurzeln hat.
Betrachten Sie zum Beispiel die quadratische Gleichung x2 + 4 = 0. Die Diskriminanz dieser Gleichung ist D = 16 - 4 * 1 * 4 = 0. Da die Diskriminante 0 ist, hat die Gleichung eine gültige Wurzel x = -2.
Betrachten wir nun die Gleichung x2 + 5 = 0. Die Diskriminanz dieser Gleichung ist D = 25 - 4 * 1 * 5 = -15. Da die Diskriminanz negativ ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln.
Wenn also eine Gleichung eine negative Diskriminanz aufweist, hat sie keine gültigen Wurzeln. In diesem Fall ist die Lösung der Gleichung komplex und wird in Form von a + bi dargestellt, wobei a und b reelle Zahlen sind und i eine imaginäre Einheit ist.
Beispiele für Gleichungen mit negativer Diskriminanz
Wenn die Diskriminante der Gleichung 0 ist, bedeutet dies, dass die Gleichung eine einzige Wurzel hat. Wenn die Diskriminante jedoch negativ wird, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln.
Betrachten Sie zum Beispiel eine Gleichung:
Die Diskriminanz dieser Gleichung ist gleich:
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4*1*5 = 16 - 20 = -4
Da der Diskriminant negativ ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln.
Ein weiteres Beispiel für eine Gleichung mit einem negativen Diskriminanten könnte sein:
Die Diskriminanz dieser Gleichung ist gleich:
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4*3*10 = 36 - 120 = -84
Da die Diskriminanz negativ ist, hat diese Gleichung auch keine gültigen Wurzeln.
Wenn der Diskriminant größer als 0 ist
Wenn die Diskriminante größer als Null ist, können Sie eine quadratische Gleichung verwenden, um verschiedene Aufgaben zu lösen, z. B. das Finden der Eckpunkte einer Parabel, das Bestimmen der Richtung ihrer Ausbuchtung, das Finden der Flugzeit eines Objekts und das Definieren von Schnittpunkten mit anderen Funktionen.
Schauen wir uns ein Beispiel an: eine quadratische Gleichung wurde gegeben 2x 2 - 5x - 3 = 0. Diskriminanz berechnen: D = (-5) 2 - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49. Da die Diskriminante größer als Null ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln.
Nach der Formel x1,2 = (-b ± √D) / (2a) wir finden die Werte der Wurzeln:
- x1 = (-(-5) + √49) / (2 * 2) = (5 + 7) / 4 = 3
- x2 = (-(-5) - √49) / (2 * 2) = (5 - 7) / 4 = -1/2
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung sind daher zwei reelle Wurzeln: x1 = 3 und x2 = -1/2.
Wenn die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln hat
Wenn die Diskriminante größer als Null ist (D > 0), hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Die Wurzeln können mit der Formel gefunden werden: x1 = (-b + √D)/(2a) und x2 = (-b - √D)/(2a).
Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x^2 - 5x + 6 = 0. Die Diskriminanz dieser Gleichung ist D = (-5)^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1.
Da D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Ersetzen Sie die Werte in Formeln und finden Sie die Wurzeln:
- x1 = (-(-5) + √1)/(2*1) = (5 + 1)/2 = 6/2 = 3;
- x2 = (-(-5) - √1)/(2*1) = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2.
Daher hat die Gleichung x^2 - 5x + 6 = 0 zwei verschiedene Wurzeln: x1 = 3 und x2 = 2.
