So finden Sie die Eckpunkte eines Parallelogramms anhand von Koordinaten: Eine detaillierte Anleitung

Ein Parallelogramm ist eine der grundlegenden geometrischen Formen, die viele Anwendungen in Geometrie, Physik, Architektur und vielen anderen Bereichen hat. Aber was ist, wenn Sie die Scheitelpunkte eines Parallelogramms an bestimmten Koordinaten finden müssen? In diesem ausführlichen Handbuch zeigen wir Ihnen, wie Sie die Koordinaten der Scheitelpunkte eines Parallelogramms einfach und schnell berechnen können.

Der erste Schritt beim Finden der Eckpunktkoordinaten eines Parallelogramms besteht darin, die vier Punkte zu definieren, die eine bestimmte Form angeben. Um dies zu tun, müssen Sie die Koordinaten der beiden gegenüberliegenden Scheitelpunkte des Parallelogramms kennen. Sei A(x₁, y₁) und B(x₂, y₂) - die Eckpunkte des Parallelogramms. Dann ist es leicht zu verstehen, dass C(x₁ + x₂ - x₃, y₁ + y₂ - y₃) und D(x₁ + x₂ - x₄, y₁ + y₂ - y₄) sind auch die Eckpunkte des Parallelogramms.

Um diesen Prozess besser zu verstehen, betrachten wir ein Beispiel: Die Koordinaten der Scheitelpunkte A(1, 2) und B(4, 6) des Parallelogramms werden angegeben. Wir müssen die Koordinaten der Eckpunkte C und D finden. Mit den oben angegebenen Formeln erhalten wir:

C(1 + 4 - x₃, 2 + 6 - y₃) und D(1 + 4 - x₄, 2 + 6 - y₄). Ersetzendes x₃ und y₃ auf die Koordinaten des Scheitelpunkts C und x₄ und y₄ an den Koordinaten des Scheitelpunkts D erhalten wir die endgültigen Koordinaten der Scheitelpunkte des Parallelogramms.

Definition eines Parallelogramms

Überprüfen Sie, ob die folgenden Bedingungen erfüllt sind, um ein Parallelogramm zu bestimmen:

1. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel: Punkte mit Koordinaten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) liegen auf parallelen Geraden sowie auf Punkten (x₃, y₃) und (x₄, y₄) liegen auf parallelen Geraden.
2. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich: Die Seitenlängen AB und CD sind gleich, sowie die Seitenlängen AD und BC sind gleich.
3. Die entgegengesetzten Winkel sind gleich: Die Winkel A und C sind gleich, und die Winkel B und D sind gleich.

Wenn alle diese Bedingungen erfüllt sind, ist das Viereck mit diesen Koordinaten ein Parallelogramm.

Formeln zum Finden der Eckpunkte eines Parallelogramms

Verwenden Sie die folgenden Formeln, um die Stützpunkte eines Parallelogramms an den angegebenen Koordinaten für die Basis und einen Stützpunkt zu finden:

1. Suchen Sie den Vektor, der die Eckpunkte der Basis des Parallelogramms verbindet: AB = (x_B - x_A, y_B - y_A)
2. Suchen Sie nach einem Vektor, der einen der Stützpunkte mit dem Eckpunkt des Parallelogramms verbindet: AC = (x_C - x_A, y_C - y_A)
3. Finden Sie die Koordinaten des zweiten Scheitelpunkts des Parallelogramms mit der Formel: D = (x_B + x_C - x_A, y_B + y_C - y_A)
4. Finden Sie die Koordinaten des dritten Scheitels des Parallelogramms mit der Formel: D = (x_A + x_C - x_B, y_A + y_C - y_B)
5. Finden Sie die Koordinaten des vierten Scheitels des Parallelogramms mit der Formel: D = (x_A + x_B - x_C, y_A + y_B - y_C)

Nachdem Sie die Koordinaten aller vier Eckpunkte eines Parallelogramms gefunden haben, können Sie sicherstellen, dass sie ein Parallelogramm bilden, indem Sie überprüfen, ob die gegenüberliegenden Seiten des Parallelogramms parallel und in der Länge gleich sind.

Schritte zum Finden der Eckpunkte eines Parallelogramms:

1. Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden gegenüberliegenden Scheitelpunkte des Parallelogramms. Nennen wir sie A(x1, y1) und B(x2, y2).
2. Finden Sie die Koordinaten der gegenüberliegenden Scheitelpunkte des Parallelogramms mithilfe der folgenden Formeln:
   • Die Koordinaten von Scheitelpunkt C(x3, y3) finden Sie, indem Sie zu x1 die Differenz zwischen den x-Koordinaten von Scheitelpunkt B und A und zu y1 die Differenz zwischen den y-Koordinaten von Scheitelpunkt B und A hinzufügen: x3 = x1 + (x2 - x1), y3 = y1 + (y2 - y1).
   • Die Koordinaten von Scheitelpunkt D(x4, y4) können gefunden werden, indem zu x2 die Differenz zwischen den x-Koordinaten von Scheitelpunkt B und A und zu y2 die Differenz zwischen den y-Koordinaten von Scheitelpunkt B und A hinzugefügt wird: x4 = x2 + (x2 - x1), y4 = y2 + (y2 - y1).
3. Überprüfen Sie, ob die Seiten AB und CD parallel sind. Um dies zu tun, können Sie sicherstellen, dass ihre Neigungen gleich sind. Die Neigung einer Geraden wird durch die Formel berechnet: m = (y2 - y1) / (x2 - x1), wobei m die Neigung einer Geraden ist.
4. Überprüfen Sie, ob die Seiten BC und AD parallel sind. Um dies zu tun, können Sie sicherstellen, dass ihre Neigungen gleich sind. Die Neigung einer Geraden wird anhand der Formel berechnet: m = (y3 - y1) / (x3 - x1), wobei m die Neigung einer geraden ist.

Beispiel: Finden von Parallelogrammscheitelpunkten mit angegebenen Koordinaten

Um die Eckpunkte eines Parallelogramms mit den angegebenen Koordinaten zu finden, können wir den folgenden Algorithmus verwenden:

1. Suchen Sie die Koordinaten der Mitte des Segments, das die beiden parallelen Seiten des Parallelogramms verbindet. Sie können dies tun, indem Sie den arithmetischen Mittelwert der Koordinaten jedes Punktes auf diesen Seiten finden.
2. Mit dem gefundenen Mittelpunkt finden Sie die Koordinaten des zweiten Scheitels des Parallelogramms, der sich auf der gegenüberliegenden Seite befindet.
3. Suchen Sie die Koordinaten des dritten Stützpunkts mithilfe der Mitte der Linie, die den ersten und zweiten Stützpunkt verbindet, und der Koordinate des letzten Stützpunkts.
4. Suchen Sie den vierten Stützpunkt anhand der Koordinaten des ersten und dritten Stützpunkts sowie der Mittelpunkte der Linien, die die entsprechenden Stützpunkte der ersten und dritten Linie verbinden.

Dieser Algorithmus ermöglicht es Ihnen, die Eckpunkte eines Parallelogramms anhand von Koordinaten zu finden. Die Eckpunkte des Parallelogramms bilden ein Viereck, in dem die gegenüberliegenden Seiten parallel und in der Länge gleich sind.

Das ABCD-Parallelogramm wird durch die folgenden Koordinaten angegeben:

1. Finde die Koordinaten der Mitte des AB-Abschnitts:

Die Mitte des AB-Abschnitts hat Koordinaten:

• x = (2 + 5) / 2 = 7/2 = 3.5
• y = (3 + 7) / 2 = 10 / 2 = 5

Die Koordinaten der Mitte des AB-Segments sind gleich (3.5, 5).

2. Finden wir die Koordinaten des zweiten Scheitels des Parallelogramms:

Der zweite Scheitelpunkt des Parallelogramms (D) befindet sich auf der gegenüberliegenden Seite des Parallelogramms, daher sind die Koordinaten von D die entgegengesetzten Koordinaten von A:

Die Koordinaten des zweiten Scheitels des Parallelogramms sind gleich (-2, -3).

3. Finden wir die Koordinaten des dritten Eckpunkts:

Die Mitte des AD-Abschnitts hat Koordinaten:

• x = (2 + (-2)) / 2 = 0 / 2 = 0
• y = (3 + (-3)) / 2 = 0 / 2 = 0

Die Koordinaten der Mitte des AD-Segments sind (0, 0).

Der dritte Scheitelpunkt des Parallelogramms (C) befindet sich auf der Linie, die A und D verbindet, ein Drittel seiner Länge von Punkt A entfernt. Daher entsprechen die Koordinaten von C der Summe der Koordinaten des Mittelpunkts von A und der Koordinaten von Scheitelpunkt A:

• x = 0 + 2 = 2
• y = 0 + 3 = 3

Die Koordinaten des dritten Scheitels des Parallelogramms sind gleich (2, 3).

4. Finden wir die Koordinaten des vierten Eckpunkts:

Die Mitte des BC-Schnitts hat Koordinaten:

• x = (5 + 9) / 2 = 14 / 2 = 7
• y = (7 + 6) / 2 = 13 / 2 = 6.5

Die Koordinaten der Mitte des BC-Segments sind gleich (7, 6.5).

Der vierte Scheitelpunkt des Parallelogramms (B) befindet sich auf der Linie, die C und A verbindet, ein Drittel seiner Länge von Punkt C. Daher sind die Koordinaten von B gleich der Summe der Koordinaten des Mittelpunkts von BC und der Koordinaten des Scheitelpunkts C:

• x = 7 + 2 = 9
• y = 6.5 + 3 = 9.5

Die Koordinaten des vierten Scheitels des Parallelogramms sind gleich (9, 9.5).

Daher sind die Eckpunkte des ABCD-Parallelogramms mit den angegebenen Koordinaten:

• A(2, 3)
• B(9, 9.5)
• C(2, 3)
• D(-2, -3)