Die achte Klasse ist die Zeit, in der die Schüler beginnen, komplexe geometrische Formen zu lernen. Eine dieser Figuren ist das Trapez. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind. Eine Möglichkeit, Trapez zu klassifizieren, besteht darin, gleichschenklig und ungleichschenklig zu sein.
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, bei dem zwei Basen gleich lang sind und die Winkel zwischen den Seiten und den Basen gleich sind. Wenn du beweisen willst, dass das Trapez gleichschenklig ist, brauchst du Kenntnisse über die grundlegenden Eigenschaften geometrischer Formen und die Fähigkeit, logisches Denken durchzuführen.
Schauen Sie sich zunächst das angegebene Trapez an und achten Sie auf seine Seiten und Ecken. Bestimmen Sie, welche Seiten parallel sind, und vergleichen Sie dann ihre Längen. Wenn du bemerkst, dass die beiden Basen die gleiche Länge haben, kannst du davon ausgehen, dass das Trapez gleichschenklig ist.
Jetzt achte auf die Ecken. Messen Sie sie mit einem Winkelmesser und vergleichen Sie die Ergebnisse. Wenn alle Winkel zwischen den Seiten und den Basen gleich sind, können Sie eine grundlegende Schlussfolgerung ziehen – ein gleichschenkliges Trapez. Denken Sie jedoch daran, dass das Vorhandensein von gleichen Winkeln kein hinreichender Beweis für Gleichschenkeligkeit ist, da ein ungleichschenkelförmiges Trapez gleiche Winkel haben kann. Alle anderen Winkel, die nicht für diese Kriterien geeignet sind, sind beim Nachweis der Gleichschenkligkeit des Trapezes irrelevant.
Das Trapez ist gleichschenklig: Was bedeutet es?
Das Trapez wird als gleichschenkliger, wenn ihre beiden nicht parallelen Seiten gleich sind. Dies bedeutet, dass die Basen des Trapezes – die oberen und unteren Basen – die gleiche Länge haben und die Seiten des Trapezes den gleichen Winkel mit den Basen bilden.
Wenn also alle Seiten des Trapezes unterschiedlich lang sind, ist es ungleichmäßig. Wenn nur zwei Seiten des Trapezes gleich sind, ist es gleichschenklig.
ABCD – Trapez.
AD und BC sind ihre Basen (die Basen sind gleich).
AB und CD sind die Seiten des Trapezes (die Seiten sind gleich).
Es ist auch wichtig sich daran zu erinnern, dass die Summe der Basenlängen in einem gleichschenkligen Trapez der Summe der Seitenlängen entspricht.
Definition und Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes
Grundlegende Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes:
- Die Winkel bei den Basen sind einander gleich.
- Die Diagonalen sind einander gleich.
- Die Winkel an den Basen und Diagonalen sind einander gleich.
Wir werden diese Eigenschaften beweisen.
1. Die Winkel bei den Basen sind untereinander gleich:
Nehmen wir an, wir haben ein gleichschenkliges ABCD-Trapez, wobei AB und CD die Basen sind und BC und AD die Seiten sind.
Sei M und N die Schnittpunkte der Diagonalen AC bzw. BD.
Da AC und BD diagonal sind, teilen sie sich die Punkte M und N in zwei Hälften.
Dann AM = MC und BN = ND.
Aus der Gleichheit der Dreiecke AMC und BND ergibt sich, dass der Winkel von AMB gleich dem Winkel von CND ist.
AMB- und CND-Winkel sind auch die Winkel an den Basen eines gleichschenkligen Trapezes.
Daher sind die Winkel bei den Basen untereinander gleich.
2. Die Diagonalen sind einander gleich:
Wir verwenden die gleichen Bezeichnungen und Annahmen wie im vorherigen Absatz.
Da AM = MC und BN = ND ist, ist AM + BN = MC + ND.
Aber AM + BN = AB (nach dem Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck AMB) und MC + ND = CD (nach dem Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck CND).
Daher AB = CD.
Somit sind die Diagonalen gleich zueinander.
3. Die Winkel an den Basen und Diagonalen sind einander gleich:
Wir verwenden die gleichen Bezeichnungen und Annahmen wie in den vorangegangenen Absätzen.
Der AMC-Winkel ist gleich dem CND-Winkel (was wir bereits im ersten Punkt als gleich erwiesen haben).
Der AMB-Winkel ist gleich dem BMD-Winkel, da sie die Winkel an den Basen eines gleichschenkligen Trapezes sind.
Der DMC-Winkel ist gleich dem ANB-Winkel, da sie die Winkel an den Basen eines gleichschenkligen Trapezes sind.
Aus den beiden vorangegangenen Punkten folgt, dass der BMD-Winkel gleich dem ANB-Winkel ist.
Daher sind die Winkel an den Basen und Diagonalen gleich zueinander.
So haben wir die grundlegenden Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes nachgewiesen.
Der Satz des gleichschenkligen Trapezes
Bestätigung: Wenn die Diagonale im Trapez eine Basis in zwei Hälften teilt und der durch die Diagonale und die zweite Basis gebildete Winkel an der Spitze des Trapezes einem der Winkel an der Basis entspricht, ist das Trapez gleichschenklig.
Lassen Sie AB und CD - Basen des Trapezes, AD und BC die Seiten des Trapezes und AC und BD ihre Diagonalen sein. Gemäß der Aufgabenbedingung teilt BD die Basis AB in zwei Hälften, also AB = 2BD.
Angenommen, die Winkel von DAB und BCD sind gleich. Dann DC = BA und AD = BC. Da AB = 2BD ist, ist AC = BD + DC = BD + BA = AB, und das ABCD-Trapez ist gleichschenklig.
Wenn der DAB-Winkel nicht gleich dem BCD-Winkel ist, ist der DAB-Winkel beispielsweise größer. Dann ist der Winkel des BCD kleiner, da die Summe der Winkel des Dreiecks 180 Grad beträgt. In diesem Fall AD > BC und DC > BA. Aber unter der Bedingung des Problems, AD = BC und DC = BA. Es stellt sich ein Widerspruch heraus. Das bedeutet, dass die Dreiecke DAB und BCD gleich sind und das ABCD-Trapez gleichschenklig ist.
Somit ist ein Trapez mit einer Diagonale, die eine der Basen in zwei Hälften teilt, und einem Winkel an der Spitze, der dem Winkel an der Basis entspricht, gleichschenklig.
Formulierung des Satzes
Theorem: Im Trapez ist die Diagonale, die zu den Basen gezogen wird, gleichschenklig.
Gegeben: Trapez ABCD, AB
