Dezimalbrüche sind eine übliche und bequeme Möglichkeit, rationale Zahlen darzustellen, sie können jedoch periodisch sein, dh sie haben eine unendliche Folge von sich wiederholenden Zahlen. Die Bestimmung eines Zeitraums kann eine entmutigende Aufgabe sein, aber es gibt Algorithmen, die Ihnen helfen, diese Aufgabe zu erfüllen. In diesem Artikel erklären wir im Detail, wie Sie die Periode eines unendlichen periodischen Bruchs bestimmen können.
Ein periodischer Dezimalbruch hat die folgende Struktur: eine endliche Anzahl von Ziffern vor einer Periode, gefolgt von einer Periode selbst, die sich unendlich oft wiederholt. Zum Beispiel würde ein Bruchteil von 1/3 in der Dezimaldarstellung als 0.3333 aussehen. wobei 3 eine Periode ist, die sich unendlich oft wiederholt. Die Bestimmung eines Zeitraums kann eine schwierige Aufgabe sein, aber es gibt Methoden, um diesen Prozess zu vereinfachen.
Eine Möglichkeit, einen Zeitraum zu bestimmen, besteht darin, einen periodischen Bruch in einen gewöhnlichen zu konvertieren und den Zähler und den Nenner zu analysieren. Sie können dann einen Algorithmus anwenden, um den Zähler durch einen Nenner zu dividieren. Wenn sich während des Teilungsprozesses ein Zahlenpaar wiederholt, bedeutet dies, dass die Periode mit diesem Paar beginnt. Wenn keine Wiederholung gefunden wird, bedeutet dies, dass die Zahl keine Periode hat.
Was ist ein unendlicher periodischer Bruch?
Ein periodischer Bruch wird normalerweise durch einen abgekürzten Datensatz dargestellt, bei dem der periodische Teil in Klammern hervorgehoben wird. Zum Beispiel kann die Zahl 1/3 als 0 dargestellt werden.(3) wobei die Ziffer 3 unendlich oft nach dem Dezimalpunkt wiederholt wird.
Periodische Brüche haben viele interessante Eigenschaften und Anwendungen in der Mathematik. Sie können verwendet werden, um unendliche Dezimalbrüche mit einer sich wiederholenden Folge von Ziffern wie 1/7=0 darzustellen.(142857) und zur Lösung von Gleichungen und zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.
Sie können verschiedene Methoden anwenden, um den Zeitraum eines unendlichen periodischen Bruchs zu bestimmen, einschließlich der langen Division, des euklidischen Algorithmus oder der Verwendung spezieller Formeln. Wenn Sie die Algebra und die Zahlentheorie kennen, können Sie bei der Analyse und Lösung von Problemen helfen, die mit unendlichen periodischen Brüchen verbunden sind.
Beschreibung und Beispiele
Endlose periodische Dezimalzahlen sind Zahlen, bei denen eine bestimmte Zahlengruppe oder Sequenz nach dem Komma wiederholt wird. Führen Sie die folgenden Schritte aus, um den Zeitraum eines solchen Bruchs zu bestimmen:
- Schreibe einen Bruch als gewöhnlichen Bruch.
- Multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner des Bruches mit 10, bis wir eine Dezimalzahl ohne einen ganzen Teil erhalten.
- Finde die kleinste Anzahl von Ziffern nach dem Komma, die sich wiederholt. Bezeichnen wir diese Zahl als n.
- Finden Sie einen wiederkehrenden Zeitraum, der n Ziffern enthält. Bezeichnen wir die Periode als P.
Betrachten Sie zum Beispiel die Zahl 1/7. Indem wir die oben beschriebenen Schritte anwenden, erhalten wir:
- Bruch 1/7.
- Wir multiplizieren den Zähler und den Nenner mit 10, wir erhalten 10/7 = 1,428571428571.
- Die kleinste wiederholte Anzahl von Ziffern nach dem Komma ist 6.
- Der Zeitraum beträgt 428571.
Daher ist die periodische Dezimalzahl für die Zahl 1/7 0,428571.
Wie kann ich den Zeitraum eines unendlichen periodischen Bruchs bestimmen?
Die Periode eines unendlichen periodischen Bruchs ist die kürzeste Anzahl von Zeichen, nach denen die Wiederholung der Ziffern beginnt. Sie können den Algorithmus der folgenden Schritte verwenden, um einen Zeitraum zu definieren:
| Schritt | Die Beschreibung |
| 1 | Zerlegen Sie den Bruch in einen ganzen Teil und eine Dezimalzahl. |
| 2 | Multiplizieren Sie die Dezimalzahl mit 10. |
| 3 | Schreiben Sie den ganzen Teil der resultierenden Zahl als die nächste Ziffer in der Periode. |
| 4 | Subtrahieren Sie den ganzen Teil von der resultierenden Zahl. |
| 5 | Wenn die resultierende Zahl Null ist, besteht die Periode nur aus einer Ziffer, andernfalls kehren Sie zu Schritt 2 zurück. |
Die Verwendung dieses Algorithmus ermöglicht es Ihnen, die Periode eines unendlichen periodischen Bruchs zu bestimmen. Das Ergebnis ist eine Folge von Zahlen, die sich unendlich oft wiederholen.
Wenn Sie die Periode eines Bruchs kennen, können Sie sie genauer als Zahl darstellen und weitere mathematische Operationen durchführen. Darüber hinaus können Sie die Muster und Eigenschaften von unendlichen periodischen Brüchen sehen.
Algorithmus und grundlegende Schritte
Befolgen Sie die folgenden Schritte, um den Zeitraum eines unendlichen periodischen Bruchs zu bestimmen:
- Zerlegen Sie die ursprüngliche Dezimalzahl in ganze und Dezimalteile, indem Sie sie als schreiben ganzzahliger Teil + Bruchteil.
- Vereinfachen Sie den Bruchteil, indem Sie ihn in einen gewöhnlichen Bruchteil umwandeln. Um dies zu tun, drücken Sie es als die Summe der Dezimalstellen von Zahlen und Zählern der entsprechenden gewöhnlichen Brüche aus.
- Drücken Sie den resultierenden gewöhnlichen Bruch in Form eines periodischen Dezimalbruchs aus, indem Sie die Dezimalstellen einer Zahlenfolge verwenden, die eine Periode bildet.
- Bestimmen Sie die Dezimalzeit. Um dies zu tun, finde die ganze Zahl h, so dass 10 h - 1 geteilt durch eine Zahl, die aus den Ziffern der Periode besteht.
Mit diesem Algorithmus und den entsprechenden mathematischen Operationen können Sie den Zeitraum eines unendlichen periodischen Bruchs bestimmen und ihn in der gewünschten Form schreiben.
Ausführliche Erläuterung des Berechnungsprozesses
Um den Zeitraum eines unendlichen periodischen Bruchs zu bestimmen, müssen bestimmte Berechnungen nacheinander durchgeführt werden. Betrachten wir diesen Prozess genauer.
1. Zuerst müssen Sie den ursprünglichen, unendlichen periodischen Bruch in Form von schreiben:
wobei a_0 der ganze Teil des Bruches ist, a_1, a_2, . a_n ist der periodische Teil des Bruches.
2. Mit dem Spaltenalgorithmus müssen Sie a_0 durch a_1 dividieren. Das resultierende Private und der Rest wird als Dezimalzahl geschrieben:
a_0 / a_1 = b_1 ganzzahliger Teil des Bruches + 1 /b_2.
wobei b_1 der ganze Teil des privaten ist, b_2 der Rest.
3. Als nächstes wird 1 durch den resultierenden Rest b_2 dividiert:
1 / b_2 = b_2 ganzzahliger Teil des Bruches + 1 /b_3.
wobei b_2 der ganze Teil des privaten ist, b_3 der Rest.
4. Dieser Schritt muss wiederholt werden, bis der Rest der vorherigen Division und der neue Rest gleich sind:
5. Sobald die Restgleichheit erreicht ist, kann argumentiert werden, dass die Bruchperiode an der i-ten Position beginnt.
6. Ein periodischer Bruch kann eine unvollständige Periode haben, dh er wiederholt sich nicht vollständig. Wenn der nächste Rest während der Berechnung b_j ist, wobei j < i ist, ist dieser Rest nicht Teil der Periode.
7. Also, nachdem alle Berechnungen durchgeführt wurden und der Beginn der Periode bestimmt wurde, kann der Endeintrag des periodischen Bruches als a_0, a_1, a_2 erhalten werden. a_n(b_1,b_2. b_i-1), wobei a_0 ein ganzzahliger Teil ist, a_1, a_2, . a_n ist der periodische Teil, b_1, b_2, . b_i-1 ist eine unvollständige Periode.
Der Prozess der Berechnung der Periode eines unendlichen periodischen Bruchs umfasst daher die sequenzielle Ausführung von Teilungen und Vergleichen von Überresten, um den genauen Wert der Periode zu erhalten.
Abbildungen und Berechnungsbeispiele
Um den Prozess zur Bestimmung des Zeitraums eines unendlichen periodischen Bruchs visuell darzustellen, betrachten wir das folgende Beispiel:
Beispiel 1:
Die Dezimalzahl ist 0.3333 gegeben. Nehmen wir es als periodischen Bruch und versuchen wir, seine Periode zu finden.
Im ersten Schritt multiplizieren wir diesen Bruch mit 10, um das Dezimalkomma loszuwerden:
Dann subtrahieren wir den ursprünglichen Bruch von der resultierenden Zahl:
10 * 0.3333. - 0.3333. = 3.3333. - 0.3333. = 3
Wir erhalten die ganze Zahl 3. Als nächstes multiplizieren wir den restlichen Bruchteil mit 10:
Subtrahieren wir es von der vorherigen ganzen Zahl:
10 * 0.3333. - 0.3333. = 3.3333. - 0.3333. = 3
Wir erhalten wieder die ganze Zahl 3. Wir setzen diesen Prozess fort:
10 * 0.3333. - 0.3333. = 3.3333. - 0.3333. = 3
Wir sehen, dass sich die resultierenden Zahlen wiederholen, was bedeutet, dass die Periode dieses Bruches 3 ist.
Das Erhalten der Periode eines unendlichen periodischen Bruchs erfolgt ähnlich. Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass je mehr Dezimalstellen wir berücksichtigen, desto genauer wird es sein, eine Periode zu finden.
Nützliche Tipps und praktische Ratschläge
Die Bestimmung des Zeitraums eines endlosen periodischen Bruchs kann manchmal ein schwieriger Prozess sein, aber wenn Sie einige Tipps befolgen und einige praktische Empfehlungen verwenden, können Sie diese Aufgabe vereinfachen.
1. Verstehen Sie die grundlegenden Konzepte.
Bevor Sie beginnen, die Periode eines unendlichen periodischen Bruchs zu definieren, ist es wichtig, die grundlegenden Konzepte, die mit diesem Thema verbunden sind, gut zu verstehen. Lernen Sie die Definitionen von Begriffen wie Zähler, Nenner, Teilfraktion, irrationale Zahl usw. kennen. Dies wird Ihnen helfen, den Prozess zur Bestimmung des Zeitraums besser zu verstehen.
2. Verwenden Sie den euklidischen Algorithmus.
Der euklidische Algorithmus ist ein mathematischer Algorithmus, mit dem Sie den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen finden können. Mit diesem Algorithmus können Sie die Bruchperiode bestimmen, indem Sie die kleinste positive ganze Zahl finden, bei der sich die Reste im euklidischen Algorithmus wiederholen. Dies kann den Prozess zur Bestimmung des Zeitraums erheblich vereinfachen.
3. Beachten Sie die sich wiederholenden Sequenzen.
Wenn Sie bemerken, dass sich eine Folge von Ziffern in der periodischen Dezimalzahl wiederholt, kann dies ein Zeichen für eine Periode sein. Studieren Sie die Sequenzen und versuchen Sie, Muster in sich wiederholenden Zahlen zu finden. Wenn Sie beispielsweise bemerken, dass nach der 3. Ziffer jede nächste Ziffer im periodischen Bruch wiederholt wird, kann dies ein Indikator dafür sein, dass die Periode aus einer Ziffer besteht.
4. Beziehen Sie sich auf Tabellen oder Online-Rechner.
Wenn Sie diese nützlichen Tipps und praktischen Richtlinien befolgen, können Sie die Aufgabe bewältigen, die Zeit eines endlosen periodischen Bruchs leichter und selbstbewusster zu bestimmen.
