Ableitung funktion ist eines der grundlegenden Konzepte der mathematischen Analyse und findet breite Anwendung in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft und Technologie. Es ermöglicht Ihnen, die Änderungsrate einer Funktion an jedem Punkt zu bestimmen. Manchmal kann es jedoch schwierig oder unangenehm sein, eine Ableitung analytisch zu berechnen. In solchen Fällen können Sie eine Methode zum Definieren einer Ableitung über eine Tangente verwenden, mit der Sie den Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt annähernd ermitteln können.
Wie funktioniert das? Die Grundidee der Methode besteht darin, die Tangentenfunktion an einem gegebenen Punkt zu approximieren und dann den Winkelkoeffizienten dieser Tangente zu finden, der dem Wert der Ableitung entspricht. Dazu müssen mehrere Schritte ausgeführt werden.
Angenommen, wir haben eine Funktion f(x), die an einem Punkt differenziert werden muss x=a. Nehmen wir einen Punkt P(a, f(a)) im Diagramm der Funktion werden wir eine Tangente durch sie ziehen. Um eine Tangente zu konstruieren, müssen Sie ihre Gleichung finden.
Wie finde ich eine Ableitung über eine Tangente
Befolgen Sie diese Schritte, um die Ableitung einer Funktion über eine Tangente zu finden:
- Wählen Sie den Punkt im Funktionsdiagramm aus, an dem Sie die Ableitung finden möchten.
- Zeichnen Sie am ausgewählten Punkt eine Tangente zum Funktionsdiagramm. Die Tangente sollte so nah wie möglich am Funktionsdiagramm sein und so genau wie möglich an sie herankommen. Eine Tangente ist eine gerade Linie, die das Funktionsdiagramm berührt und dieselbe Neigung wie das Diagramm am ausgewählten Punkt aufweist.
- Messen Sie den Neigungswinkel der Tangente. Dies kann mit einem Winkelmessgerät oder einem rechten Winkel erfolgen.
- Berechnen Sie die Tangente des Neigungswinkels der Tangente. Die Tangente des Neigungswinkels der Tangente entspricht dem Wert der abgeleiteten Funktion am ausgewählten Punkt.
Angenommen, wir haben eine Funktion f(x) = x^2. Wir wollen die Ableitung der Funktion am Punkt x = 3 finden.
1. Wählen Sie einen Punkt im Funktionsdiagramm, x = 3.
2. Zeichnen Sie eine Tangente zum Diagramm einer Funktion, die das Diagramm berührt und die gleiche Neigung wie das Diagramm am Punkt x = 3 hat.
3. Wir messen den Neigungswinkel der Tangente. Angenommen, der Neigungswinkel einer Tangente beträgt 45 Grad.
4. Wir berechnen die Tangente des Neigungswinkels der Tangente, die dem Wert der abgeleiteten Funktion am ausgewählten Punkt entspricht. In unserem Fall ist der Tangens von 45 Grad 1.
Daher ist die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 am Punkt ist x = 3 gleich 1.
Schritte zum Finden einer Ableitung durch eine Tangente
1. Suchen Sie die Gleichung der Tangente zum Funktionsdiagramm an einem bestimmten Punkt. Dazu müssen Sie die Koeffizienten der Gleichung einer geraden Linie finden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und die gleiche Steigung wie der Funktionsdiagramm an diesem Punkt aufweist. Verwenden Sie die Formel der geraden Gleichung: y = mx + b, wo m - die Neigung ist tangential und b - achsversatz y.
2. Drücken Sie die Tangentialneigung als abgeleitete Funktion an diesem Punkt aus. Nehmen Sie dazu die Ableitung der Funktion, in der Sie die Ableitung finden möchten, und ersetzen Sie sie stattdessen x der Wert des Punktes, an dem die Ableitung gefunden werden soll. Das Ergebnis ist eine Tangentialneigung an diesem Punkt.
3. Notieren Sie die Tangentialgleichung, indem Sie die gefundenen Neigungs- und Versatzwerte ersetzen: y = (Ableitung am Punkt)x + b. Auf diese Weise erhalten Sie an einem bestimmten Punkt eine Tangentialgleichung zum Funktionsdiagramm.
4. Bestimmen Sie den Wert der abgeleiteten Funktion an diesem Punkt mithilfe der gefundenen Tangentialgleichung. Ersetzen Sie dazu den Wert x in die Tangentialgleichung und löse sie. Das resultierende Ergebnis ist der Wert der abgeleiteten Funktion an diesem Punkt.
Mit diesen Schritten können Sie die abgeleitete Funktion an einem bestimmten Punkt mithilfe einer Tangente finden und die Abfolge von Aktionen anhand eines Beispiels veranschaulichen.
Beispiele für die Berechnung einer Ableitung durch eine Tangente
Betrachten wir einige Beispiele für die Berechnung einer Ableitung durch eine Tangente.
| Ein Beispiel | Funktion | Berührungspunkt | Ableitung |
|---|---|---|---|
| Beispiel 1 | f(x) = x^2 | (2, 4) | f'(x) = 2x |
| Beispiel 2 | f(x) = sin(x) | (π/2, 1) | f'(x) = cos(x) |
| Beispiel 3 | f(x) = ln(x) | (e, 1) | f'(x) = 1/x |
In jedem Beispiel finden wir an einem gegebenen Punkt eine Tangente zum Graphen der Funktion und definieren dann ihren Winkelkoeffizienten, der die Ableitung der Funktion ist.
