Die Wurzel einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form ist eine mathematische Operation, mit der Sie die Wurzel einer Zahl der Form z = |z| * (cos φ + i sin φ) finden können, wobei |z| das Modul der Zahl z ist, φ das Argument der Zahl z ist.
Um die Wurzel einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form zu finden, müssen mehrere Schritte ausgeführt werden. Eine Möglichkeit besteht darin, die Formel De Moivre zu verwenden, mit der Sie die Wurzeln einer komplexen Zahl als eine Menge von Werten mit gleichem Abstand zwischen ihnen auf einer komplexen Ebene ausdrücken können.
Betrachten wir ein Beispiel. Lassen Sie uns eine komplexe Zahl z = 4 geben (cos 60° + i sin 60°). Um die Quadratwurzel dieser Zahl zu finden, müssen wir das Zahlenmodul auf eine Potenz erhöhen, die der Hälfte des Grades der Wurzel entspricht, und den resultierenden Wert mit dem Kosinus der Hälfte des Arguments plus i sin der Hälfte des Arguments multiplizieren.
Die Wurzel einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form: grundlegende Konzepte und Eigenschaften
Die Haupteigenschaft einer Wurzel aus einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form ist, dass sie die Form hat:
zn = √(r(cos(θ + 2πn) + i sin(θ + 2πn))),
wo n - ganze Zahl, r - modul für komplexe Zahlen, θ - das Argument einer komplexen Zahl.
Die Grundformel zum Finden der Wurzel aus einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form ist wie folgt:
zn = √r(cos(θ/2 + πn) + i sin(θ/2 + πn)).
Hier n akzeptiert Werte zwischen 0 und (k - 1), wo k - der Grad der Wurzel.
Es ist wichtig zu beachten, dass die Wurzel einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form mehrere Werte haben kann. Die Anzahl der Werte hängt vom Grad der Wurzel ab.
Lassen Sie eine komplexe Zahl angeben z = 4(cos(π/4) + i sin(π/4)). Finden wir die Quadratwurzel dieser Zahl.
Mit der Grundformel erhalten wir:
z0 = √4(cos(π/4) + i sin(π/4)) = 2(cos(π/8) + i sin(π/8)),
z1 = √4(cos(π/4 + π) + i sin(π/4 + π)) = 2(cos(9π/8) + i sin(9π/8)),
z2 = √4(cos(π/4 + 2π) + i sin(π/4 + 2π)) = 2(cos(17π/8) + i sin(17π/8)).
Daher ist die Wurzel einer komplexen Zahl z in diesem Fall hat es drei Bedeutungen: 2(cos(π/8) + i sin(π/8)), 2(cos(9π/8) + i sin(9π/8)) und 2(cos(17π/8) + i sin(17π/8)).
Die Kenntnis der grundlegenden Konzepte und Eigenschaften der Wurzel einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form ermöglicht es Ihnen, sie in komplexen Zahlenaufgaben und -lösungen tiefer zu verstehen und anzuwenden.
Wurzel einer komplexen Zahl: definition und allgemeine Formel
Die allgemeine Formel zum Finden der Wurzel aus einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form lautet wie folgt:
- n - wurzelnummer, n = 0, 1, 2, . m - 1, wo m - grad der Wurzel
- r - modul der ursprünglichen komplexen Zahl
- θ0 - das Argument der ursprünglichen komplexen Zahl
- π - Pi-Zahl (ungefährer Wert von 3.14159)
- i - imaginäre Einheit, wobei i 2 = -1 ist
Um also die Wurzel einer komplexen Zahl zu finden, müssen Sie ihr Modul nehmen, mit dem Kosinus und Sinus der Summe des Arguments und des speziellen Multiplikators multiplizieren, der aus dem Kreis des Einheitskreises stammt.
Nehmen wir zum Beispiel die komplexe Zahl z = 4(cos(π/3) + i * sin(π/3)). Finde die Wurzel dieser Zahl für n=0 und n=1:
z0 = √4 * (cos(π/3 + 2π * 0) + i * sin(π/3 + 2π * 0))
z0 = 2 * (cos(π/3) + i * sin(π/3))
z1 = √4 * (cos(π/3 + 2π * 1) + i * sin(π/3 + 2π * 1))
z1 = 2 * (cos(π/3 + 2π) + i * sin(π/3 + 2π))
Wie finde ich die Wurzel einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form: ein Aktionsalgorithmus
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um die Wurzel einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form zu finden:
- Stellen wir uns zunächst eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form vor: \(z = r \cdot (\cos(\theta) + i \cdot \sin(\theta))\), wobei \(r\) das Modul der Zahl ist, \(\theta\) das Argument der Zahl ist.
- Betrachten Sie die Formel, um die Wurzel des n-ten Grads aus einer komplexen Zahl zu finden: \(\sqrt[n] = \sqrt[n] \cdot \left(\cos\left(\fracight) + i \cdot \sin \left(\fracight) ight)\), wobei \(k\) die Stammnummer ist (0 bis n-1). Auf diese Weise erhalten Sie für jedes k unterschiedliche Wurzelwerte.
- Wir berechnen das Root-Modul \(\sqrt[n]\) nach der Formel \(\sqrt[n] = \sqrt[n]>\).
- Wir berechnen das Stammargument \(\sqrt[n]\) durch die Formel \(\frac\).
- Runden wir den Wert des Stammarguments \(\sqrt) ab[n]\) bis zur gewünschten Anzahl von Dezimalstellen.
- Verwenden Sie die gefundenen Modul- und Argumentwerte, um die Wurzeln in trigonometrischer Form zu schreiben.
Lassen Sie zum Beispiel eine komplexe Zahl \(z = 2 \cdot (\cos (45^\circ) + i \cdot \sin(45^\circ))\) und Sie müssen ihre Wurzel im Quadrat finden:
| Stammnummer (k) | Root-Modul \(\sqrt\) | Das Stammargument \(\sqrt\) | Wurzel in trigonometrischer Form |
|---|---|---|---|
| 0 | \(\sqrt\) | \(22.5^\circ\) | \(\sqrt \cdot (\cos(22.5^\circ) + i \cdot \sin(22.5^\circ))\) |
| 1 | - \(\sqrt\) | \(157.5^\circ\) | - \(\sqrt \cdot (\cos(157.5^\circ) + i \cdot \sin(157.5^\circ))\) |
Daher sind die Wurzeln der komplexen Zahl \(z = 2 \cdot (\cos(45^\circ) + i \cdot \sin(45^\circ))\) im Quadrat gleich:
\(\sqrt \cdot (\cos(22.5^\circ) + i \cdot \sin(22.5^\circ))\) und \(- \sqrt \cdot (\cos(157.5^\circ) + i \cdot \sin(157.5^\circ))\).
Beispiele für die Berechnung einer Wurzel aus einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form
Um die Wurzel aus einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form zu berechnen, müssen Sie eine Formel verwenden:
z 1/n = (r 1/n ) * (cos((φ+2kπ)/n) + i * sin((φ+2kπ)/n))
- z - komplexe Zahl in trigonometrischer Form
- r - modul für komplexe Zahlen
- φ - argument einer komplexen Zahl
- n - grad der Wurzel
- k - eine ganze Zahl, die die Stammnummer angibt
Im Folgenden finden Sie einige Beispiele zum besseren Verständnis:
Beispiel 1:
Wir berechnen den Wert der Wurzel aus einer komplexen Zahl z = 3(cos(π/6) + i * sin(π/6)) im Kubikgrad.
Modul für komplexe Zahlen r = 3 und das Argument φ = π/6.
Gemäß der Formel kann die Wurzel 3 Werte haben, wenn k = 0, 1, 2.
z 1/3 = (3 1/3 ) * (cos((π/6)/3) + i * sin((π/6)/3))
z 1/3 = (3 1/3 ) * (cos(π/18) + i * sin(π/18))
z 1/3 = (3 1/3 ) * (cos((π/6+2π)/3) + i * sin((π/6+2π)/3))
z 1/3 = (3 1/3 ) * (cos(13π/18) + i * sin(13π/18))
z 1/3 = (3 1/3 ) * (cos((π/6+4π)/3) + i * sin((π/6+4π)/3))
z 1/3 = (3 1/3 ) * (cos((25π/18) + i * sin((25π/18))
Beispiel 2:
Wir berechnen den Wert der Wurzel aus einer komplexen Zahl z = 2(cos(π/4) + i * sin(π/4)) im vierten Grad.
Modul für komplexe Zahlen r = 2 und das Argument φ = π/4.
Gemäß der Formel kann die Wurzel 4 Werte haben, wenn k = 0, 1, 2, 3.
z 1/4 = (2 1/4 ) * (cos((π/4)/4) + i * sin((π/4)/4))
z 1/4 = (2 1/4 ) * (cos(π/16) + i * sin(π/16))
z 1/4 = (2 1/4 ) * (cos((π/4+2π)/4) + i * sin((π/4+2π)/4))
z 1/4 = (2 1/4 ) * (cos(9π/16) + i * sin(9π/16))
z 1/4 = (2 1/4 ) * (cos((π/4+4π)/4) + i * sin((π/4+4π)/4))
z 1/4 = (2 1/4 ) * (cos(17π/16) + i * sin(17π/16))
z 1/4 = (2 1/4) * (cos (π/4 + 6π) / 4) + y * Sünde (π/4 + 6π) /4)
z 1/4 = (2 1/4) * (cos (25π / 16) + y * Sünde (25π / 16)
