Die Urfunktion ist eines der wichtigsten Konzepte der Differentialrechnung. Es ist eine Funktion, deren Ableitung der ursprünglichen Funktion entspricht. Die Lösung des Problems, eine primäre Funktion zu finden, ist eine wichtige Aufgabe beim Mathematikunterricht.
Um die ursprüngliche Funktion zu finden, deren Diagramm durch den Punkt m verläuft, müssen Sie die Integrationsmethode anwenden. Es gibt viele Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen, und jeder hat seine eigenen Besonderheiten. Betrachten Sie einen der Ansätze zur Lösung des Problems.
Der erste Schritt besteht darin, die Ableitung der ursprünglichen Funktion zu finden. Dann können Sie mithilfe der resultierenden Ableitung und des Punktes m eine Gleichung für die ursprüngliche Funktion erstellen. Im nächsten Schritt wird ein konstantes Mitglied dieser Gleichung gefunden. Und schließlich ist die endgültige Formel der ursprünglichen Funktion.
Was ist eine primäre Funktion und warum wird sie benötigt
Wenn die Funktion f (x) in einem bestimmten Intervall differenzierbar ist, wird die Funktion F (x) als Primärfunktion bezeichnet, deren Ableitung f (x) ist. Das heißt, wenn wir eine Ableitung von F (x) nehmen, erhalten wir die ursprüngliche Funktion f (x).
Warum müssen wir die ursprüngliche Funktion finden? Es ist ein Schlüsselwerkzeug, um bestimmte Integrale zu identifizieren. Wenn wir zum Beispiel die ursprüngliche Funktion kennen, können wir leicht ein bestimmtes Integral von a nach b berechnen. Dies ermöglicht es, verschiedene Aufgaben aus Physik, Wirtschaft, Statistik und anderen Wissenschaften zu lösen, bei denen die Fläche unter dem Diagramm der Größenabhängigkeit von Zeit, Entfernung oder einer anderen Variablen berechnet werden muss.
Der Prozess, eine Urfunktion zu finden, wird als Integration oder Antidifferenzierung bezeichnet. Es gibt verschiedene Methoden, um eine ursprüngliche Funktion zu finden, z. B. eine Methode zum Ersetzen von Variablen, eine Methode zur teilweisen Integration, eine Methode zur teilweisen Integration usw.
Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass eine Urfunktion eine konstante Unsicherheit haben kann (Integral + C), wobei C eine willkürliche Konstante ist. Dies liegt daran, dass die Ableitung einer Konstanten Null ist, so dass das Hinzufügen eines konstanten Konstanten zu einer Primärfunktion ihre Ableitung nicht beeinflusst.
Aufgabenstellung: Ein Diagramm der Funktion, die durch den Punkt m verläuft
Bei dieser Aufgabe müssen Sie eine Urfunktion finden, deren Graph durch einen bestimmten Punkt M verläuft. Dazu müssen Sie eine solche Funktion finden, deren Ableitung der ursprünglichen Funktion entspricht.
Die ursprüngliche Funktion wird durch das Symbol f (x) und die ursprüngliche Funktion durch das Symbol F (x) gekennzeichnet. Um F(x) zu finden, müssen wir eine solche Funktion finden, deren Ableitung f(x) ist.
Zunächst definieren wir die Ableitung der Funktion f (x), dh eine Funktion, die die Änderungsrate des Wertes einer Funktion in Bezug auf ihr Argument x anzeigt. Dann lösen wir die Differentialgleichung, um F (x) zu finden.
Die Aufgabenbedingung kann als Punkt M(x, y) angegeben werden, durch den das Diagramm der Funktion F(x) verläuft. Wir müssen solch ein urförmiges F(x) finden, damit F(x) am Punkt x einen Wert von y hat.
Die Lösung des Problems beinhaltet Schritt für Schritt das Finden der Ableitung von f(x) und die Integration, um F(x) zu finden, wobei die Bedingung gegeben ist, dass der Punkt M(x, y) durchläuft. Das resultierende Urmuster ermöglicht es dann, einen Graphen der Funktion zu zeichnen, der durch den Punkt M verläuft.
Schritt 1: Finden der allgemeinen Ansicht einer Primärfunktion
Wenn wir eine Funktion f(x) und eine allgemeine Ansicht ihres ursprünglichen F(x) haben, ist die Ableitung der Funktion F(x) gleich f(x). Die umgekehrte Aussage ist auch wahr: wenn F(x) die ursprüngliche Funktion von f(x) ist, dann ist F'(x) = f(x).
Um eine allgemeine Ansicht der ursprünglichen Funktion zu finden, müssen Sie die Integraltabelle oder Ihr eigenes Wissen über die Integration verschiedener Funktionen verwenden. Wenn beispielsweise die ursprüngliche Funktion f(x) = x^2 ist, ist die allgemeine Darstellung ihres ursprünglichen F(x) F(x) = x^3/3 + C, wobei C eine willkürliche Konstante ist.
Schritt 2: Verwenden der Bedingung, dass das Diagramm den Punkt m durchläuft
Um eine Urfunktion zu finden, deren Graph durch einen bestimmten Punkt m verläuft, muss die Bedingung verwendet werden, dass der Graph diesen Punkt durchläuft.
Angenommen, Sie haben die Funktion f(x) gegeben, deren Urform gesucht wird, und es ist bekannt, dass der Graph dieser Funktion durch den Punkt m(x₀, y₀) verläuft.
Um die Bedingung zu erfüllen, dass ein Diagramm diesen Punkt durchläuft, müssen Sie eine Gleichung erhalten, die für die angegebenen Werte x₀ und y₀ ausgeführt wird.
Schreiben wir diese Gleichung in folgender Form auf:
wobei F(x) die ursprüngliche Funktion von f(x) ist und C eine willkürliche Konstante ist.
So finden wir die ursprüngliche Funktion F(x), indem wir eine beliebige Konstante C hinzufügen und die gegebenen Werte von x₀ und y₀ in der Gleichung verwenden.
Wenn Sie eine Urfunktion finden, deren Graph durch Punkt m verläuft, müssen Sie diese Bedingung berücksichtigen und den Wert einer beliebigen Konstante C richtig auswählen, damit der Graph tatsächlich durch Punkt m verläuft.
Schritt 3: Finden einer bestimmten Primärfunktion
Nachdem Sie eine allgemeine Ansicht einer Primärfunktion gefunden haben, müssen Sie eine bestimmte Primärfunktion finden, die durch einen bestimmten Punkt verläuft.
Dazu verwenden wir die Bedingung, dass der Graphen der Funktion durch einen Punkt (m, n) verläuft, wobei m und n die angegebenen Werte sind. Wir ersetzen diese Werte in die Gleichung der ursprünglichen Funktion und lösen die Gleichung bezüglich der konstanten Integration von C.
Der resultierende Wert für die konstante Integration von C ermöglicht es, eine bestimmte primäre Funktion zu definieren, die die angegebenen Bedingungen erfüllt.
Daher finden wir eine bestimmte Urformfunktion, deren Graph durch einen gegebenen Punkt (m, n) verläuft.
Beispiel: Lösen eines bestimmten Suchproblems
Schritt 1: Finden wir die ursprüngliche Funktion f(x). Dazu müssen Sie jedes Mitglied der Funktion f(x) einzeln integrieren.
∫ (3x 2 - 2x + 1) dx = x 3 - x 2 + x + C
Wobei C eine willkürliche Konstante ist.
Schritt 2: Ersetzen wir den Punkt M (2,4) in die resultierende Primärfunktion F (x) und finden den Wert der Konstanten C.
4 = (2) 3 - (2) 2 + 2 + C
Schritt 3: Der resultierende Wert der konstanten C wird durch die ursprüngliche Funktion F (x) ersetzt.
F(x) = x 3 - x 2 + x - 2
Somit ist die Lösung des Problems, eine Urfunktion zu finden, deren Graph durch den Punkt M (2,4) verläuft, F (x) = x 3 - x 2 + x - 2.
