Eine Ebenengleichung ist ein mathematischer Ausdruck, mit dem Sie eine Ebene in einem dreidimensionalen Raum darstellen können. Um es zu finden, müssen Sie die Koordinaten der drei Punkte kennen, durch die die Ebene verläuft. Wenn es darum geht, eine Ebene durch drei Punkte zu konstruieren, ist es wichtig, sich daran zu erinnern, dass diese Punkte nicht auf einer geraden Linie liegen sollten. Andernfalls wird die Ebenengleichung undefiniert.
In diesem Artikel betrachten wir Beispiele für die Lösung des Problems, eine Gleichung einer Ebene zu finden, die durch drei Punkte verläuft. Dazu werden wir die drei Punkte A, B und C verwenden.
Stellen wir uns vor, wir haben die Punkte A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) und C(x3, y3, z3). Um die Gleichung der Ebene zu finden, durch die diese Punkte verlaufen, verwenden wir die folgende Formel:
A(x - x1) + B(y - y1) + C(z - z1) = 0
Wobei A, B und C die Koeffizienten sind, die anhand der Punktdaten gefunden werden können. Es ist auch erwähnenswert, dass diese Koeffizienten die Normal des Ebenenvektors bestimmen, der senkrecht zur Ebene selbst ist. Um die Koeffizienten zu finden, ersetzen wir die Koordinaten der Punkte A, B und C in die Formel:
A(x1 - x2)(z - z3) + B(y1 - y2)(z - z3) + C(x1 - x3)(y - y2) = 0
Das Ergebnis der Substitution wären numerische Werte für diese Gleichung, und jetzt können wir die Werte A, B und C finden, indem wir dieses System von Gleichungen relativ unbekannt lösen.
Methoden zum Finden einer Ebenengleichung durch drei Punkte
Die Ebenengleichung wird durch drei nicht-kollineare Punkte definiert, die auf einer bestimmten Ebene liegen. Es gibt mehrere Methoden, um eine Ebenengleichung durch diese Punkte zu finden.
1. Methode des Vektorwerks
- Berechnen Sie die Vektoren, die die Punkte A und B und die Punkte A und C verbinden.
- Finden Sie das Vektorprodukt dieser Vektoren.
- Die Gleichung einer Ebene hat die Form: Ax + By + Cz + D = 0, wobei der Vektor (A, B, C) - normalen-Vektor auf die Ebene, und D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀, wo (x₀, y₀, z₀) - Koordinaten eines der Punkte auf der Ebene.
2. Determinanten-Methode
- Schreiben Sie ein Gleichungssystem für drei Punkte: Ax + By + Cz + D = 0, wobei (x, y, z) die Koordinaten des Punktes und (A, B, C, D) unbekannte Koeffizienten sind.
- Berechnen Sie die Determinante des Gleichungssystems.
- Die Ebenengleichung hat die Form: Ax + By + Cz + D = 0, wobei (A, B, C, D) die durch das Lösen des Gleichungssystems erhaltenen Werte sind.
3. Normal-Methode
- Finde den normalen Vektor zur Ebene mit den normalen Vektoren der drei Kanten eines gegebenen Dreiecks (mit ihrem Vektorprodukt).
- Die Ebenengleichung hat die Form: Ax + By + Cz + D = 0, wobei (A, B, C, D) die aus dem normalen Vektor abgeleiteten Werte sind.
Die Wahl einer bestimmten Methode hängt von der spezifischen Situation und den Vorlieben des Programmierers oder Mathematikers ab. Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass alle Methoden uns die Möglichkeit geben, die Gleichung einer Ebene zu finden, die durch die drei angegebenen Punkte verläuft.
Geometrischer Ansatz
Zuerst wählen wir die beiden Vektoren AB und AC, wobei A, B und C die angegebenen Punkte sind. Der Vektor AB kann als Koordinatendifferenz des Vektors B und A gefunden werden, dh AB = B - A. Ähnlich ist der Vektor AC C - A.
Dann finden wir das Vektorprodukt der Vektoren AB und AC, bezeichnen es als n:
wobei x das Symbol des Vektorstücks ist.
Die Koordinaten des AB- und AC-Vektors können als dargestellt werden:
Dann werden die Koordinaten des Vektors n sein:
n = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)
Jetzt können wir, wenn wir die Koordinaten des Vektors n und den Punkt A kennen, die Ebenengleichung schreiben:
wobei • das Symbol eines skalaren Produkts ist, x ein beliebiger Punkt auf der Ebene ist.
Die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A, B und C verläuft, wäre also:
(y1 * z2 - z1 * y2)(x - x1) + (z1 * x2 - x1 * z2)(y - y1) + (x1 * y2 - y1 * x2)(z - z1) = 0
Algebraischer Ansatz
Sie können den algebraischen Ansatz verwenden, um die Gleichung einer Ebene an drei gegebenen Punkten zu finden. Dazu können Sie die folgende Formel verwenden:
Ax + By + Cz + D = 0
wobei A, B, C und D die zu findenden Koeffizienten sind.
Zunächst können Sie diese Koeffizienten ausdrücken, indem Sie die Koordinaten eines gegebenen Punktes in die Gleichung einfügen. Nehmen wir an, wir haben einen Punkt P(x1, y1, z1). Ersetzen wir ihre Koordinaten in die Gleichung und erhalten Folgendes:
Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0
Auf ähnliche Weise können Sie zwei weitere Gleichungen erhalten, indem Sie die Koordinaten der anderen beiden Punkte ersetzen. Nachdem Sie nun ein System aus drei Gleichungen erhalten haben, können Sie es mit der Cramer-Methode oder anderen Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme lösen. Nachdem wir das System gelöst haben, finden wir die Werte der Koeffizienten A, B, C und D, die die gewünschten Koeffizienten der Ebenengleichung sind.
