Eine der Hauptfragen, die beim Erlernen von Funktionsdiagrammen entstehen, besteht darin, Schnittpunkte mit Koordinatenachsen zu finden. In diesem Artikel betrachten wir Möglichkeiten, den Schnittpunkt des Diagramms der Funktion y= ah2+bx+c mit der Ordinatachse zu finden.
Die Funktion y=ah2+bx+c ist eine quadratische Funktion. Sein Diagramm ist eine Parabel, die verschiedene Positionen und Richtungen haben kann. Um den Schnittpunkt mit der Ordinatenachse (y-Achse) zu finden, müssen Sie den Wert der Funktion bei x=0 finden.
Um dies zu tun, ersetzen wir x =0 in die Funktionsgleichung und berechnen y. Als Ergebnis erhalten wir die Koordinaten des Punktes, an dem das Funktionsdiagramm die Achse des Ordinats schneidet. Wenn der y-Wert Null ist, durchläuft der Graph der Funktion den Ursprung (0,0).
Wenn Sie den Schnittpunkt der Funktion y= ah2+ bx+ c mit der Ordinatachse bestimmen, können Sie den y-Wert für ein gegebenes x leicht finden und ihn bei der Vorhersage, Modellierung und Lösung verschiedener Aufgaben verwenden.
Methoden zum Finden der Koordinaten eines Schnittpunkts
So finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts eines Funktionsdiagramms y = ax 2 + bx + c mit der Ordinatachse können Sie verschiedene Methoden verwenden, mit denen Sie den y-Wert zum Zeitpunkt der Kreuzung genau bestimmen können.
1. Geometrische Methode
Eine der einfachsten Möglichkeiten, einen Schnittpunkt zu finden, besteht darin, den Schnittpunkt einer Funktion mit der Ordinatenachse geometrisch zu finden. Es genügt, den Wert von x mit 0 gleichzusetzen und den entsprechenden Wert von y zu finden. Daher hat der Schnittpunkt Koordinaten (0, c), wobei c der freie Begriff der Funktion ist.
2. Ersetzungsmethode
Eine andere Methode zum Finden des Schnittpunkts ist die Verwendung der Ersetzungsmethode. Sie müssen x in der Funktion durch 0 ersetzen und die resultierende Gleichung für y lösen. Der resultierende y-Wert ist die Koordinate des Schnittpunkts mit der Ordinatenachse.
3. Lösung der Gleichung
Die Methode zur Lösung der Gleichung ist der Wert x am Schnittpunkt des Diagramms mit der Ordinatachse. Indem Sie den gefundenen x-Wert zurück in die ursprüngliche Gleichung setzen, können Sie den y-Wert finden. So erhalten wir die Koordinaten des Schnittpunkts.
Mit einer der vorgeschlagenen Methoden können Sie die Koordinaten des Schnittpunkts des Funktionsdiagramms finden y = ax 2 + bx + c mit der Ordinatachse und genauer untersuchen Sie das Verhalten der Funktion auf der Ebene.
Berechnung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Die Diskriminanzformel wird verwendet, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden:
Diskriminante D = b 2 - 4ac
Wenn der Diskriminant positiv ist (D > 0), hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln:
Wenn die Diskriminante Null ist (D = 0), hat die Gleichung eine Wurzel:
Die Formel wird verwendet, um komplexe Wurzeln zu finden:
Wobei i die imaginäre Einheit ist, die gleich √-1 ist, und |D| das Diskriminantenmodul ist.
Verwenden der Diskriminanzformel
Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form hat die Form ax^2 + bx + c = 0, wo a, b und c - Koeffizienten der Gleichung.
Um den Schnittpunkt mit der Ordinatenachse zu finden, müssen wir den Wert der Funktion am Punkt finden x = 0. Ersetzen wir diesen Wert in die Gleichung:
| Gleichung | Ausdruck |
|---|---|
| y = ax^2 + bx + c | y = a(0)^2 + b(0) + c |
| y = c |
Somit hat der Schnittpunkt des Funktionsdiagramms mit der Ordinatachse Koordinaten (0, c).
Die Diskriminanz der quadratischen Gleichung wird wiederum durch die Formel definiert:
| Die Formel des Diskriminanten | Diskriminante |
|---|---|
| D = b^2 - 4ac | D |
Abhängig von der Bedeutung des Diskriminanten D sie können bestimmen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat:
| Bedeutung von Diskriminanten D | Anzahl der Wurzeln |
|---|---|
| D > 0 | Zwei verschiedene Wurzeln |
| D = 0 | Eine Wurzel (die Wurzel der doppelten Multiplizität) |
| D < 0 | Es gibt keine Wurzeln (komplexe Wurzeln) |
Anhand des Diskriminanten-Werts können Sie bestimmen, wie viele verschiedene Schnittpunkte des Diagramms einer Funktion mit der Achse Ordinat eine quadratische Gleichung haben.
Algorithmus zum Lösen von Gleichungen der Art y = 0
Um Gleichungen der Form y = 0 zu lösen, müssen Sie die Werte der Variablen x finden, bei denen die Funktion Null ist. Verwenden Sie dazu den folgenden Algorithmus:
- Schreibe eine Gleichung der Form y = ah2 +bx +c.
- Gleichsetzen Sie den Ausdruck y auf Null.
- Löse die resultierende quadratische Gleichung mit der Variablen x.
- Finde die x-Werte, bei denen die Gleichung Null ist.
Eine Lösung für eine quadratische Gleichung kann mit Methoden wie:
- Die Diskriminanzformel lautet: x = (-b ± √(b2-4ac)) / 2a
- Eine grafische Methode, mit der Sie die Wurzeln grafisch finden können
- Methode zur Vervollständigung eines quadratischen Dreigliedes
Wenn Sie die quadratische Gleichung lösen, können Sie die Schnittpunkte des Diagramms der Funktion y = ah2 + bx + c mit der Ordinatachse finden, dh die Werte von x, bei denen die Funktion Null ist.
Grafische Methode zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der Ordinatachse
Zuerst müssen Sie die Funktionsgleichung als y = 0 ausdrücken, da der Schnittpunkt mit der Ordinatachse eine Nullordinate hat. Um dies zu tun, gleichsetzen wir die Funktionsgleichung auf Null: ah2 + bx + c = 0.
Dann müssen Sie die Funktion auf der Koordinatenebene grafisch darstellen. Dazu können Sie einen Grafikrechner oder ein Programm zum Zeichnen von Graphen verwenden. Nachdem Sie ein Diagramm erstellt haben, können Sie einen Schnittpunkt mit der Ordinatachse finden - dies ist der Punkt, an dem das Funktionsdiagramm die y-Achse schneidet.
Eine andere Möglichkeit, den Schnittpunkt mit der Ordinatachse zu finden, besteht darin, die Wurzeln der Gleichung ah2+bx+c=0 zu finden. Die Wurzeln einer Gleichung sind die x-Werte, bei denen die Gleichung Null ist. Eine der Wurzeln ist die Koordinate des Schnittpunkts mit der Ordinatenachse.
Die grafische Methode zur Bestimmung des Schnittpunkts mit der Ordinatachse ermöglicht es daher, den Schnittpunkt des Funktionsdiagramms mit der angegebenen Achse einfach und anschaulich zu finden.
Fälle, in denen es keine Kreuzung gibt
Obwohl die allgemeine Formel es ermöglicht, den Schnittpunkt des Diagramms der Funktion y= ah2+bx+c mit der Ordinatachse zu finden, existiert manchmal ein solcher Punkt möglicherweise nicht.
Der Schnittpunkt der Ordinatenachse erfolgt, wenn der Funktionswert bei x = 0 Null ist. Das heißt, angesichts der Gleichung y=ah2+bx+c müssen wir x durch 0 ersetzen und einen Ausdruck erhalten, der gleich 0 ist.
Es gibt jedoch zwei Situationen, in denen eine solche Kreuzung nicht möglich ist.
Der erste Fall ist: Wenn a=0 und b=0 ist, wird die quadratische Gleichung y=ah2+bx+c in die lineare Gleichung y=c umgewandelt. In diesem Fall ist der Funktionsdiagramm eine gerade Linie parallel zur OX-Achse und hat keinen Schnittpunkt mit der Ordinatenachse.
Der zweite Fall ist: Wenn a=0 und b≠0 ist, wird die Gleichung y=ah2+bx+c zu y=bx+c vereinfacht, wobei b und c Konstanten sind. In diesem Fall ist die Linie auch parallel zur OX-Achse, und es gibt keinen Schnittpunkt mit der Ordinatachse. Der Wert c gibt einen Punkt auf der OY-Achse an, von dem die Linie abweicht, aber niemals schneidet.
Daher tritt bei a = 0 und b = 0 oder bei a = 0 und b≠0 der Schnittpunkt des Funktionsdiagramms y=ah2 + bx + c mit der Ordinatachse nicht auf. In diesen Fällen ist das Diagramm entweder eine gerade Linie parallel zur OX-Achse oder es fehlt vollständig auf dieser Achse.
Beispiele für Problemlösungen
Nehmen wir die Funktion y = 2x2-4x + 2 und finden Sie ihren Schnittpunkt mit der Achse der Ordinaten.
Um den Schnittpunkt mit der Ordinatachse (y-Achse) zu finden, ersetzen wir x = 0 in der Funktionsgleichung:
Also y=4, was bedeutet, dass der Schnittpunkt der Funktion mit der Ordinatachse am Punkt (0,4) liegt.
Nehmen wir die Funktion y =-3x2 + 5x-1 und finden Sie ihren Schnittpunkt mit der Achse des Ordinats.
Ersetzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung:
Also y=-1, was bedeutet, dass der Schnittpunkt der Funktion mit der Ordinatachse am Punkt (0,-1) liegt.
