Eine geometrische Progression ist eine Folge von Zahlen, bei der jede nächste Zahl durch Multiplikation der vorherigen Zahl mit einer festen Zahl, die als Progression-Nenner bezeichnet wird, erhalten wird. Wenn der Progression-Nenner größer als eins ist, werden die nachfolgenden Zahlen zunehmen, und wenn sie kleiner als eins sind, werden sie abnehmen. Die Summe der geometrischen Progression ist die Summe aller Zahlen dieser Sequenz.
Wie finde ich die Summe der geometrischen Progression? Dazu gibt es eine Formel, mit der Sie die Summe berechnen können, indem Sie die erste Anzahl der Progression, den Nenner und die Anzahl der Mitglieder der Progression kennen. Die Formel lautet wie folgt:
Sn = a * (q n - 1) / (q - 1)
Wo Sn - summe der geometrischen Progression mit n Mitglieder, a - das erste Mitglied der Progression, q - der Nenner der Progression.
Betrachten wir ein Beispiel. Lassen Sie uns eine geometrische Progression haben, deren erster Begriff 2 ist, der Nenner 3 ist, und wir wollen die Summe der ersten 5 Mitglieder dieser Progression finden. Wenn wir die Werte in die Formel einfügen, erhalten wir:
Sn = 2 * (3 5 - 1) / (3 - 1) = 2 * (243 - 1) / 2 = 2 * 242 / 2 = 242
Somit beträgt die Summe der ersten 5 Mitglieder dieser geometrischen Progression 242.
Was ist eine geometrische Progression?
Die Formel des Gesamtmitglieds der geometrischen Progression lautet wie folgt:
wo an - n-te Mitglied der Progression, a1 - das erste Mitglied der Progression, r - der Nenner der Progression.
Die Summe der geometrischen Progression kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
Sn = a1 * (1 - r n ) / (1 - r),
wo Sn - die Summe der ersten n Mitglieder der Progression.
Die geometrische Progression wird häufig in Mathematik, Physik, Wirtschaft und anderen Wissenschaften verwendet. Die Kenntnis der grundlegenden Formeln und Eigenschaften der geometrischen Progression ermöglicht eine Vielzahl von Aufgaben, einschließlich der Berechnung von Zinssätzen, des Bevölkerungswachstums und anderen ähnlichen Aufgaben.
Wie finde ich die Summe der geometrischen Progression?
Die Formel für die Summe der endgültigen geometrischen Progression lautet wie folgt:
| Sn | = | a1 | * | (1 - q n ) | / | (1 - q) |
wo Sn - die Summe der geometrischen Progression, a1 - das erste Element der Progression, q ist der Nenner der Progression, n ist die Anzahl der Elemente.
Die Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Progression hat die Form:
wobei S die Summe der unendlichen geometrischen Progression ist, a1 - das erste Element der Progression, q ist der Nenner der Progression.
Um Beispiele für die Ermittlung der Summe der geometrischen Progression zu lösen, müssen Sie die Werte des ersten Elements kennen (a1), Nenner (q) und Anzahl der Elemente (n).
Wenn beispielsweise eine geometrische Progression mit a-Werten angegeben wird1 = 2, q = 3 und n = 5, dann erhalten wir, um die Summe der Progression anhand der Summenformel der endgültigen Progression zu berechnen:
| S5 | = | 2 | * | (1 - 3 5 ) | / | (1 - 3) |
Wenn wir die Werte ersetzen und Berechnungen durchführen, finden wir die Summe der geometrischen Progression gleich -364.
Mit diesen Formeln können Sie die Summe der geometrischen Progression in verschiedenen Aufgaben und Beispielen leicht finden.
Beispiele
Betrachten Sie einige Beispiele, um besser zu verstehen, wie Sie die Summe der geometrischen Progression finden können.
Beispiel 1:
Eine geometrische Progression mit dem ersten Mitglied von a ist gegeben1 = 2 und der Nenner ist q = 3. Wir werden die Summe der ersten 5 Mitglieder dieser Progression finden.
Zuerst finden wir das fünfte Mitglied der Progression a5:
a5 = a1 * q (n-1) = 2 * 3 (5-1) = 2 * 3 4 = 162.
Verwenden Sie dann die Formel für die Summe der geometrischen Progression, um die Summe der ersten 5 Mitglieder zu ermitteln:
S5 = a1 * (1 - q n ) / (1 - q) = 2 * (1 - 3 5 ) / (1 - 3) = 2 * (1 - 243) / (-2) = 2 * (-242) / (-2) = 242.
Antwort: Die Summe der ersten 5 Mitglieder der Progression beträgt 242.
Beispiel 2:
Eine geometrische Progression mit dem ersten Mitglied von a ist gegeben1 = 10 und der Nenner ist q = 0.5. Wir werden die Summe der ersten 8 Mitglieder dieser Progression finden.
Zuerst finden wir das achte Mitglied der Progression a8:
a8 = a1 * q (n-1) = 10 * 0.5 (8-1) = 10 * 0.5 7 = 10 * 0.0078125 = 0.078125.
Verwenden Sie dann die Formel für die Summe der geometrischen Progression, um die Summe der ersten 8 Mitglieder zu ermitteln:
S8 = a1 * (1 - q n ) / (1 - q) = 10 * (1 - 0.5 8 ) / (1 - 0.5) = 10 * (1 - 0.00390625) / 0.5 = 10 * 0.99609375 / 0.5 = 19.921875.
Antwort: Die Summe der ersten 8 Mitglieder der Progression beträgt 19.921875.
Beispiel 3:
Eine geometrische Progression mit dem ersten Mitglied von a ist gegeben1 = 1 und der Nenner ist q = -2. Wir werden die Summe der ersten 6 Mitglieder dieser Progression finden.
Zuerst finden wir das sechste Mitglied der Progression a6:
a6 = a1 * q (n-1) = 1 * (-2) (6-1) = 1 * (-2) 5 = 1 * (-32) = -32.
Verwenden Sie dann die Formel für die Summe der geometrischen Progression, um die Summe der ersten 6 Mitglieder zu ermitteln:
S6 = a1 * (1 - q n ) / (1 - q) = 1 * (1 - (-2) 6 ) / (1 - (-2)) = 1 * (1 - 64) / (1 + 2) = 1 * (-63) / 3 = -21.
Antwort: Die Summe der ersten 6 Mitglieder der Progression beträgt -21.
