Prisma ist ein geometrischer Körper, der aus zwei parallelen gleichen Polygonen besteht, die Basen genannt werden, und rechteckigen Flächen, die die Basen verbinden. Eines der Merkmale eines Prismas sind seine Rippen.
Prismenkanten sind Linien, die die Stützpunkte mit den entsprechenden Eckpunkten der rechteckigen Flächen verbinden. Um zu beweisen, dass die Anzahl der Kanten des Prismas ein Vielfaches von 3 ist, müssen wir das Prisma als Graphen darstellen.
Graf ist eine mathematische Darstellung einer Sammlung von Objekten, die als Stützpunkte bezeichnet werden, und der Beziehungen zwischen Stützpunkten, die als Kanten bezeichnet werden. In diesem Fall entspricht jeder Scheitelpunkt des Graphen dem Scheitelpunkt des Prismas, und die Kanten verbinden die Scheitelpunkt-Paare, die den Kanten des Prismas entsprechen.
Um zu beweisen, dass die Anzahl der Prismenkanten ein Vielfaches von 3 ist, müssen wir die Tatsache verwenden, dass das Prisma 3 Paare paralleler Kanten hat. Da jedes Kantenpaar zwei Ecken des Prismas verbindet, wird die Gesamtzahl der Kanten 3 multipliziert mit der Anzahl der Ecken des Prismas.
Bestimmung des Prismas
Prismenbasen sind Polygone, die die gleiche Anzahl von Seiten und gleiche Seiten haben, Polygone werden als korrekte Prismenbasen oder nicht korrekte Prismenbasen bezeichnet.
Die seitlichen Kanten des Prismas sind gerade Abschnitte der Ebene beider Basen.
Die zentrale Fläche des Prismas ist die seitliche Fläche, die durch alle Kanten der Basis verläuft.
| Eigenschaft | Bedeutung |
|---|---|
| Anzahl der Scheitelpunkte | 6 |
| Anzahl der Kanten | Es ist unbekannt |
| Anzahl der Flächen | 5 |
| Art der Flächen | Rechteckig oder parallelogrammig |
Um die Anzahl der Kanten eines Prismas zu ermitteln, müssen Sie die Anzahl der Basen und die Anzahl der Seitenflächen kennen. Diese Eigenschaft des Prismas kann anhand der Formel gefunden werden:
Anzahl der Kanten = Anzahl der seitlichen Kanten + Anzahl der Basiskanten
Um die Anzahl der Kanten des Prismas durch die Bedingung "Vielfaches von 3" weiter zu untersuchen, müssen Sie daher die spezifischen Werte für die Anzahl der Basen und Seitenflächen des Prismas kennen.
Aufbau eines Prismas
- Wählen Sie zwei Polygone als Prismenbasis aus.
- Konstruieren Sie Seitenflächen, die die entsprechenden Stützpunkte verbinden.
- Stellen Sie sicher, dass alle Seitenflächen des Prismas die gleiche Länge haben.
Sie können einen geometrischen Kompass und ein Lineal verwenden, um ein Prisma zu konstruieren. Zuerst wird eine der Basen des Prismas gebaut, dann die andere, danach werden die Seitenflächen ausgeführt. Das Ergebnis ist eine dreidimensionale Figur, die die Form eines Prismas hat. Sie können die Anzahl der Kanten eines Prismas berechnen, indem Sie die Anzahl der Kanten einer Basis mit 2 multiplizieren und die Anzahl der Kanten der Seitenflächen addieren.
Um also zu beweisen, dass die Anzahl der Prismenkanten ein Vielfaches von 3 ist, muss gezeigt werden, dass jede Prismenbasis ein Vielfaches von 3 hat und dass die Anzahl der Seitenflächen auch ein Vielfaches von 3 ist. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, ist die Gesamtzahl der Prismenkanten ein Vielfaches von 3.
Anzahl der Prismenflächen
Jedes Prisma hat zwei Basen, und jede Basis hat n Scheitelpunkte, wobei n die Anzahl der Seiten des Polygons der Prismenbasis ist. Jeder Stützpunkt auf einer Basis ist mit dem entsprechenden Stützpunkt auf einer anderen Basis verbunden. Wir haben also n Kanten, die die entsprechenden Eckpunkte an zwei Basen verbinden.
Außerdem haben wir n weitere Kanten, die jeden Stützpunkt auf derselben Basis mit einem entsprechenden Stützpunkt auf derselben Basis verbinden. Diese Kanten sind keine Basen, aber sie bilden die Seitenflächen des Prismas.
Wenn wir die Anzahl der Kanten addieren, erhalten wir 2n der Kanten - n von den Basen und weitere n von den Seitenflächen. Die Gesamtzahl der Prismenkanten ist also 2n, was ein Vielfaches der Zahl 2 ist.
Daher können wir daraus schließen, dass die Anzahl der Prismenkanten immer ein Vielfaches von 2 und dementsprechend ein Vielfaches von 3 ist, da 2 ein Vielfaches von 3 ist
Kanten und Flächen verknüpfen
Um die Verbindung zwischen den Kanten und den Kanten des Prismas zu verstehen, müssen Sie sich daran erinnern, dass das Prisma zwei Basen und eine seitliche Oberfläche hat.
Die seitliche Oberfläche besteht aus Rechtecken, die die Basen miteinander verbinden. Die Anzahl der Rechtecke an der Seitenfläche entspricht der Anzahl der Kanten des Prismas.
Jedes Rechteck auf der Seitenfläche hat vier Seiten – zwei rechteckige und zwei gleiche Seiten der Basen. Dementsprechend ist jede Kante des Prismas die gemeinsame Seite der beiden Rechtecke.
Außerdem hat das Prisma zwei Basen, die Polygone sind. Jede Fläche der Basis hat so viele Seiten wie die Kanten des Prismas.
Aus diesen Verhältnissen geht hervor, dass bei einem Prisma die Anzahl der Kanten immer ein Vielfaches der Anzahl der Basenflächen und umgekehrt ist, die Anzahl der Basenflächen ist immer ein Vielfaches der Anzahl der Kanten.
Wenn also die Anzahl der Kanten des Prismas ein Vielfaches von 3 ist, ist auch die Anzahl der Basenflächen ein Vielfaches von 3 und umgekehrt.
Beweisen Sie, dass die Anzahl der Prismenkanten ein Vielfaches von 3 ist
Um zu beweisen, dass die Anzahl der Kanten des Prismas ein Vielfaches von 3 ist, müssen wir die Struktur dieser geometrischen Figur berücksichtigen.
Ein Prisma ist ein Polyeder, das aus zwei parallelen Polygonen besteht, die Basen genannt werden, und allen Segmenten, die die entsprechenden Eckpunkte dieser Polygone verbinden.
Betrachten Sie die Basen des Prismas. Jede Basis ist ein Polygon, bei dem die Anzahl der Kanten als n bezeichnet werden kann. Das heißt, die erste Basis hat n Kanten und die zweite Basis hat auch n Kanten. Daher ist die Gesamtzahl der Kanten an den Basen des Prismas 2n.
Betrachten wir nun die seitliche Oberfläche des Prismas. Die seitliche Oberfläche ist Rechtecke oder Parallelogramme, bei denen die beiden Seiten die Kanten der Basen sind und die anderen Seiten die entsprechenden Eckpunkte dieser Kanten miteinander verbinden. Daher ist die Gesamtzahl der Kanten der Seitenfläche 2n, da jedes Rechteck oder Parallelogramm zwei Seiten von der Basis hat und das Prisma n solcher Rechtecke oder Parallelogramme hat.
Die Gesamtzahl der Prismenkanten entspricht also der Summe der Kanten an den Basen und an der Seitenfläche, dh 2n + 2n oder 4n. Um zu beweisen, dass diese Zahl ein Vielfaches von 3 ist, muss gezeigt werden, dass sie ohne Rest durch 3 geteilt wird.
Es genügt zu beachten, dass 4n das Produkt von 4 und n ist und das Produkt von zwei Zahlen ein Vielfaches von 3 ist, wenn mindestens eine von ihnen ein Vielfaches von 3 ist. Da die Anzahl der n Kanten, die auf jeder Basis vorhanden sind, eine beliebige positive ganze Zahl sein kann, ist die Zahl 4n ein Vielfaches von 3 bei einem beliebigen Wert von n.
So haben wir bewiesen, dass die Anzahl der Prismenkanten ein Vielfaches von 3 ist und unseren Beweis abgeschlossen haben.
Mathematischer Beweis
Ein gerades dreieckiges Prisma besteht aus zwei dreieckigen Basen und drei seitlichen Flächen, die die entsprechenden Eckpunkte der Basen verbinden.
Da die Basen des Prismas Dreiecke sind, hat jede Basis drei Eckpunkte. So sind es insgesamt sechs Eckpunkte auf beiden Basen.
Betrachten wir nun die Seitenflächen des Prismas. Um zu verstehen, wie viele Kanten in jeder seitlichen Fläche enthalten sind, wenden Sie sich an die Kantendefinition. Eine Kante ist eine Linie, die zwei Stützpunkte verbindet.
Jede Seitenfläche des Prismas hat nur eine Kante, da sie die beiden Eckpunkte der Basen verbindet. In einem geraden dreieckigen Prisma werden es also genau drei sein.
Da jede Seitenfläche drei Kanten hat und das gerade dreieckige Prisma aus drei Seitenflächen besteht, erhalten wir, dass die Gesamtzahl der Kanten 3 mit 3 multipliziert wird, dh 9 Kanten.
So haben wir bewiesen, dass die Anzahl der Kanten eines geraden dreieckigen Prismas (und damit eines beliebigen Prismas) ein Vielfaches von 3 ist.
