In der Geometrie gibt es eine wichtige Aussage über einen gleichschenkligen eingeschriebenen Trapez in einem Kreis. In einem gleichseitigen eingeschriebenen Trapez sind die beiden gegenüberliegenden Seiten gleich, und die zusätzlichen Tangenten zum Kreis, die von den Eckpunkten zu den gleichen Seiten des Trapezes gezogen werden, haben eine gerade Überlagerung am Durchmesser des Kreises.
Lassen Sie uns diese Aussage beweisen. Betrachten wir ein eingeschriebenes ABCD-Trapez, wobei AB die Basis ist und CD die Spitze des Trapezes ist. Sei P und Q die Schnittpunkte der zusätzlichen Tangenten zum Kreis, die von den Scheitelpunkten C und D mit der Seite AB gezogen werden. Lassen Sie auch O die Mitte des Kreises sein, während R und S die Berührungspunkte mit der Basis AB sind.
Da der Berührungspunkt der Tangente zum Kreis senkrecht zum Radius ist, sind RO und SO senkrecht zu den Seiten AD bzw. BC. Da die CD gerade ist, sind die Winkel von ACD und BCD auch rechte Winkel. Aus diesen Tatsachen ergibt sich, dass die Dreiecke ACD und BCD rechteckig sind.
Was ist ein eingeschriebenes Trapez?
Die Haupteigenschaften eines eingeschriebenen Trapezes:
- Die Diagonalen des eingeschriebenen Trapezes sind einander gleich und sind die Höhe des Trapezes;
- Die Summe der entgegengesetzten Winkel des eingeschriebenen Trapezes beträgt 180 Grad;
- Die Summe der Winkel des Dreiecks, das durch die Diagonalen des eingeschriebenen Trapezes gebildet wird, beträgt ebenfalls 180 Grad.
Ein eingeschriebenes Trapez ist ein Sonderfall eines eingeschriebenen Vierecks. Es hat einige einzigartige Eigenschaften, die in geometrischen Aufgaben und Beweisen verwendet werden.
Definition und Eigenschaften eines eingeschriebenen Trapezes
Eigenschaften des eingeschriebenen Trapezes:
- Die entgegengesetzten Winkel des eingeschriebenen Trapezes werden auf 180 Grad summiert.
- Die Diagonalen des eingeschriebenen Trapezes sind senkrecht und teilen das Trapez in zwei gleich große Dreiecksflächen.
- Die Summe der Basen eines eingeschriebenen Trapezes entspricht dem Produkt der Diagonalen.
- Die Basen des eingeschriebenen Trapezes sind in der Länge gleich.
Das eingeschriebene Trapez ist die Hauptfigur im Satz über das gleichseitige Trapez, der besagt, dass, wenn die Diagonalen im Trapez gleich sind, ein solches Trapez gleichseitig ist und die Winkel an den Basen gleich sind.
Gleichbleibigkeit innerhalb des Trapezes
Betrachten wir zunächst die Eigenschaft der Gleichheit. In einem gleichschenkligen Trapez sind zwei Seiten, die keine Basen sind, einander gleich. Dies bedeutet, dass die Winkel bei diesen Seiten ebenfalls gleich sind.
Innerhalb des Trapezes können zwei spezielle Dreiecke unterschieden werden: die Seite des Trapezes und die beiden Seiten, das umgekehrte Dreieck, die Basis des Trapezes und die anderen beiden Seiten. Beide Dreiecke sind gleichschenklig.
Ein weiterer Beweis für die Gleichheit innerhalb des Trapezes basiert auf der Gleichheit einiger Winkel dieser Dreiecke. Wenn wir die Diagonalen des Trapezes betrachten, sind die Winkel zwischen diesen Diagonalen und den Seiten gleich (benachbarte Winkel bei gleichschenkligen Dreiecken).
Wir haben also zwei gleichschenklige Dreiecke, die gleichermaßen geneigte Seiten haben (die Diagonalen des Trapezes) und die gleichen Winkel an ihnen haben. Daher können wir innerhalb des Trapezes daraus schließen, dass es auch eine gleichschenklige Figur ist.
Die Struktur eines gleichseitigen eingeschriebenen Trapezes
Sei ABCD ein gleichseitig eingeschriebenes Trapez, wobei AB und CD - Basen, AD und BC die Seiten sind, O die Mitte des Kreises ist, in dem die Basen liegen.
In einem gleichseitigen eingeschriebenen Trapez sind die Basen parallel, daher sind ihre Längen gleich: AB = CD = a.
Wir führen die AO senkrecht zur Seite AB und BO zur Seite CD.
Da das gleichseitige Trapez eingeschrieben ist und O der Mittelpunkt des Kreises ist, sind AO und BO gleich und sind die Radien des Kreises: AO = BO = R.
| Das Argument des Beweises: | Zum Vergleich der Dreiecksindikatoren |
| Punkt des Beweises: | 1. AB = CD |
| 2. AO = BO | |
| 3. AD = BC | |
| Schlußfolgerung: | Da wir OD bereits als AD bezeichnet haben, ist das ABCD-Trapez gleichbleibend. |
Aus der Struktur eines gleichbleibenden eingeschriebenen Trapezes folgt, dass seine Seiten in der Länge gleich sind: AD = BC = b.
Daher hat ein gleichseitiges eingeschriebenes Trapez folgende Merkmale: die Basen sind gleich, die Seiten sind gleich und die Radien, die von den Eckpunkten zum Mittelpunkt des Kreises gezogen werden, sind ebenfalls gleich.
Beweis der Gleichheit
Es ist möglich, die Gleichheit eines eingeschriebenen Trapezes in einem Kreis wie folgt zu beweisen:
Schritt 1: Wir zeichnen die Diagonalen eines Vierecks, das von der Seite des Trapezes und dem Radius des Kreises gebildet wird, der durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft. Lassen Sie den Schnittpunkt als M bezeichnet werden.
Schritt 2: Betrachten Sie die Dreiecke ΔOMB und ΔOMC. Sie haben eine gemeinsame OM-Hypotenuse und sind in der Hypothese gleich, da alle Radien des Kreises gleich sind.
Sie haben auch gleiche gegenüberliegende Winkel, da dies die mittleren Winkel sind, die den Bögen OB und OC am Kreis entsprechen.
Daher sind die Dreiecke ΔOMB und ΔOMC an Seite und Winkel gleich (Postulat OV).
Folge 1: Die Dreiecke ΔOMB und ΔOMC sind gleichschenklig.
Schritt 3: Bezeichnen wir den Schnittpunkt der Seiten des Trapezes A und B. Betrachten wir die Dreiecke ΔAMO und ΔBMO.
Sie haben eine gemeinsame OM-Hypotenuse, gleiche OMA- und OMB-Winkel sowie gleiche AM- und BM-Schultern (Abschnitte, die die Schnittpunkte der Diagonalen mit den seitlichen Seiten verbinden).
Daher sind die Dreiecke ΔAMO und ΔBMO an der Seite (Schultern) und an den beiden Ecken (Postulat OV) gleich.
Folge 2: Die Dreiecke ΔAMO und ΔBMO sind gleichschenklig.
Schritt 4: Aus Folge 1 und Folge 2 folgt, dass beide Dreiecke ΔAMO und ΔBMO gleichschenklig sind. Aber sie haben auch eine gemeinsame Seite von MO.
Daher sollten sie die Basen AM und VM gleich haben.
Daher ist das AVMO-Trapez ein Ebenbild.
So haben wir die Gleichheit des eingeschriebenen Trapezes von AVMO im Kreis bewiesen.
Konsequenzen der Gleichheit
- Alle Seiten des eingeschriebenen Trapezes sind einander gleich.
- Die Winkel zwischen den Seiten und den Diagonalen in den Dreiecken, in denen die Basen des Trapezes liegen, sind ebenfalls gleich.
- Die Diagonalen des Trapezes sind senkrecht zueinander.
- Die Mittellinien der Dreiecke, in denen die Basen des Trapezes liegen, schneiden sich an einem Punkt, der die Mitte der Basis ist.
- Die Diagonalen des Trapezes sind gleich und werden am Schnittpunkt senkrecht geteilt.
