Die richtigen Polyeder sind dreidimensionale Formen, bei denen alle Flächen korrekte Polygone sind und alle Winkel zwischen den Flächen gleich sind. Es stellt sich die Frage: Wie viele Kanten können an die Spitze eines solchen Polyeders konvergieren?
Die Antwort auf diese Frage kann mit der Euler-Formel für Polyeder erhalten werden: V + F = E + 2, wobei V die Anzahl der Scheitelpunkte, F die Anzahl der Flächen und E die Anzahl der Kanten ist. Im Falle eines korrekten Polyeders sind alle seine Flächen und Scheitelpunkte gleich, daher können wir diesen Ausdruck als V + V = E + 2 schreiben. Wenn man bedenkt, dass an jedem Scheitelpunkt mindestens drei Kanten konvergieren, können wir eine Ungleichheit von 3V ≤ E aufzeichnen.
Das richtige Polyeder bestimmen
Damit das Polyeder richtig ist, muss es zwei Grundbedingungen erfüllen:
- Der Winkel, der durch zwei benachbarte Kanten gebildet wird, muss für alle Kanten gleich sein.
- Die Anzahl der Kanten, die an jedem Stützpunkt konvergieren, muss für alle Stützpunkte gleich sein.
Beispiele für korrekte Polyeder sind ein Tetraeder, ein Hexaeder (Würfel), ein Oktaeder, ein Dodekaeder und ein Ikosaeder.
Das Tetraeder ist das einfachste richtige Polyeder. Es hat 4 dreieckige Flächen, 4 Eckpunkte und 6 Kanten. Jeder Scheitelpunkt konvergiert zu 3 Kanten.
Ein Hexaeder (Würfel) hat 6 quadratische Flächen, 8 Eckpunkte und 12 Kanten. Jeder Scheitelpunkt konvergiert zu 3 Kanten.
Das Oktaeder hat 8 gleiche dreieckige Flächen, 6 Eckpunkte und 12 Kanten. Jeder Scheitelpunkt konvergiert zu 4 Kanten.
Das Dodekaeder hat 12 gleiche fünfeckige Flächen, 20 Scheitelpunkte und 30 Kanten. Jeder Scheitelpunkt konvergiert zu 3 Kanten.
Ein Ikosaeder hat 20 gleiche dreieckige Flächen, 12 Scheitelpunkte und 30 Kanten. Jeder Scheitelpunkt konvergiert zu 5 Kanten.
Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Kanten und Scheitelpunkten
Es gibt ein bestimmtes Verhältnis zwischen der Anzahl der Kanten und Scheitelpunkten in den richtigen Polyeder. Dieses Verhältnis wird durch die Euler-Formel bestimmt:
- Für Polyeder ohne Löcher und ohne Flächen, die dreidimensional sind, lautet die Euler-Formel: Die Anzahl der Scheitelpunkte (V) minus die Anzahl der Kanten (E) plus die Anzahl der Flächen (F) ist 2.
- Für flache Polyeder nimmt die Formel die Form an: V - E + F = 2.
- In jedem korrekten Polyeder besteht eine Beziehung zwischen der Anzahl der Kanten und der Anzahl der Scheitelpunkte sowie zwischen der Anzahl der Kanten und der Anzahl der Flächen.
- Wenn zwei der drei Parameter (V, E, F) bekannt sind, kann der dritte Parameter mit der Euler-Formel ausgedrückt werden.
- Die Summe der Anzahl der Kanten und der Anzahl der Scheitelpunkte im richtigen Polyeder ist immer größer als die Anzahl der Flächen um 2.
- Das Verhältnis zwischen der Anzahl der Kanten und Scheitelpunkten im richtigen Polyeder kann verwendet werden, um den fehlenden Parameter zu bestimmen, wenn die anderen beiden bekannt sind.
Schauen wir uns ein Beispiel an: das richtige Tetraeder hat 4 Scheitelpunkte, 6 Kanten und 4 Flächen. Anwendung der Euler-Formel: 4 - 6 + 4 = 2, wir erhalten den richtigen Wert.
Die Euler-Formel und das Verhältnis zwischen der Anzahl der Kanten und Ecken in den richtigen Polyeder bieten uns daher wichtige Werkzeuge, um geometrische Formen zu untersuchen und zu klassifizieren.
Beispiele für richtige Polyeder
Hier sind einige der bekanntesten Beispiele für richtige Polyeder:
Tetraeder
Das Tetraeder hat 4 dreieckige Flächen und 4 Eckpunkte. Jede Kante konvergiert zu jedem Eckpunkt. Er ist das einfachste richtige Polyeder.
Würfel
Der Würfel hat 6 quadratische Flächen, 8 Eckpunkte und 12 Kanten. Alle Kanten konvergieren zu jedem Eckpunkt.
Oktaeder
Das Oktaeder hat 8 dreieckige Flächen, 6 Eckpunkte und 12 Kanten. Jede Kante konvergiert zu jedem Eckpunkt.
Dodekaeder
Das Dodekaeder hat 12 fünfeckige Flächen, 20 Eckpunkte und 30 Kanten. Jede Kante konvergiert zu jedem Eckpunkt.
Ikosaeder
Der Ikosaeder hat 20 dreieckige Flächen, 12 Eckpunkte und 30 Kanten. Jede Kante konvergiert zu jedem Eckpunkt.
Diese richtigen Polyeder sind grundlegende Beispiele, aber es gibt andere. Insgesamt gibt es 5 richtige Polyeder, die dem weiteren Studium der Geometrie und Mathematik zugrunde liegen.
Berechnung der Anzahl der Kanten, die zum Scheitelpunkt konvergieren
Sie können die Euler-Formel verwenden, um die Anzahl der Kanten zu berechnen, die an die Spitze des richtigen Polyeders konvergieren.
Die Euler-Formel für Polyeder verbindet die Anzahl der Scheitelpunkte (V), Kanten (E) und Flächen (F) wie folgt:
Für das richtige Polyeder der konvergierenden Kanten zu jedem Scheitelpunkt wird es die gleiche Anzahl geben, wir bezeichnen es als k.
Betrachten Sie einen der Eckpunkte des Polyeders. Jede Kante befindet sich an mindestens zwei Scheitelpunkten, daher ist die Anzahl der Kanten, die zu diesem Scheitelpunkt konvergieren, k.
Wir stellen neue Variablen vor: V1 ist die Gesamtzahl der Scheitelpunkte, E1 ist die Gesamtzahl der Kanten und F1 ist die Gesamtzahl der Flächen im richtigen Polyeder.
Dann wird die Euler-Formel für das richtige Polyeder aussehen:
V1 - (k * V1) + F1 = 2
Lassen Sie uns diese Gleichung relativ zu k lösen:
V1 - k * V1 + F1 = 2
F1 - V1 + k * V1 = 2
F1 + (k - 1) * V1 = 2
(k - 1) * V1 = 2 - F1
k = (2 - F1) / (V1 - 1)
Daher kann die Anzahl der Kanten, die zum oberen Ende des richtigen Polyeders konvergieren, durch die Formel bestimmt werden: k = (2 - F1) / (V1 - 1).
Betrachten Sie ein richtiges Fünfeck (Pentagon) mit fünf Eckpunkten und fünf Flächen.
k = (2 - 5) / (5 - 1) = -3/4
Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, kann die Anzahl der Kanten, die zum Scheitelpunkt konvergieren, eine Bruchzahl sein, die für korrekte Polyeder nicht typisch ist. Dies zeigt an, dass die Aufgabenbedingungen nicht korrekt sind oder dass die Berechnung fehlgeschlagen ist.
