In der Algebra, insbesondere beim Lösen quadratischer Gleichungen, spielt die Diskriminanz eine wichtige Rolle. Es ermöglicht uns zu bestimmen, welche Arten von Lösungen eine Gleichung hat. Es gibt jedoch manchmal eine Situation, in der die Diskriminanz Null ist. Was bedeutet das und welche Maßnahmen müssen in diesem Fall ergriffen werden?
Ein Diskriminant ist ein Ausdruck, der durch die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung bestimmt wird und angibt, wie viele verschiedene Wurzeln diese Gleichung hat. Wenn der Diskriminant größer als Null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene rationale Wurzeln. Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine rationale Wurzel, auf die eine spezielle Formel angewendet werden kann.
Wenn der Diskriminant Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung ein quadratisches Dreiglied mit einer Wurzel ist. Um diese Wurzel zu finden, können Sie eine Formel verwenden, die als "Wurzelformel aus Diskriminanz" bezeichnet wird. Es ermöglicht Ihnen, eine rationale Wurzel zu finden, die als Dezimalbruch oder gewöhnlicher Bruch geschrieben werden kann.
Wenn die Diskriminante 0 ist: Beispiele und Lösen von Gleichungen
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel - ein sogenanntes Vielfaches der Wurzel.
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, hat aber zwei komplexe Wurzeln.
Betrachten wir einen Fall, in dem die Diskriminanz 0 ist:
Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine einzige reelle Wurzel, die durch die Formel x = -b / 2a gefunden werden kann.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Sei die Gleichung 2x^2 - 4x + 2 = 0 gegeben.
Zuerst finden wir den Diskriminanten anhand der Formel D = b^2 - 4ac:
D = (-4)^2 - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0.
Da D 0 ist, hat die Gleichung eine einzige reelle Wurzel.
Jetzt finden wir den Wert der Wurzel anhand der Formel x = -b/2a:
x = -(-4) / (2 * 2) = 4 / 4 = 1.
Also hat die Gleichung 2x^2 - 4x + 2 = 0 die einzige reelle Wurzel x = 1.
In diesem Fall gibt uns ein Vielfaches der Wurzel eine besondere Eigenschaft der Gleichung und ist für weitere mathematische Untersuchungen wichtig.
Wie man Null Diskriminante identifiziert
Um eine Diskriminante Null zu ermitteln, müssen Sie ihren Wert anhand der Formel berechnen:
Wenn das Ergebnis der Berechnung des Diskriminanten Null ist (D = 0), bedeutet dies, dass die Gleichung genau eine Wurzel hat. Diese Situation tritt auf, wenn der Graph der Gleichung die Achse der Abszisse berührt.
Normalerweise verwenden wir bei der Lösung quadratischer Gleichungen eine Formel:
Wenn die Diskriminante Null ist (D = 0), lautet die Formel wie folgt:
Es ist wichtig zu beachten, dass die quadratische Gleichung bei D = 0 eine einzige Wurzel hat, die eine reelle Zahl ist.
Beispiele für das Lösen von Nulldiskriminanzgleichungen:
- Die Gleichung x 2 + 4x + 4 = 0 hat den Diskriminanten D = 0. Lösung der Gleichung: x = -2.
- Die Gleichung 2x 2 - 4x + 2 = 0 hat den Diskriminanten D = 0. Lösung der Gleichung: x = 1.
- Die Gleichung 3x 2 - 6x + 3 = 0 hat den Diskriminanten D = 0. Lösung der Gleichung: x = 1.
Daher hat die quadratische Gleichung bei D = 0 genau eine Wurzel, die mit der entsprechenden Formel gefunden werden kann und den Wert anhand der bekannten Koeffizienten a, b und c berechnet.
Beispiele für Gleichungen mit Nulldiskriminanz
ax 2 + bx + c = 0
wobei a, b und c Koeffizienten sind und a ≠ 0.
Betrachten Sie zum Beispiel die folgenden Gleichungen mit einem Nulldiskriminanten:
| Gleichung | Koeffizienten (a, b, c) | Die Entscheidung |
|---|---|---|
| x 2 + 4x + 4 = 0 | 1, 4, 4 | Die Gleichung hat eine Wurzel: x = -2 |
| 2x 2 - 12x + 18 = 0 | 2, -12, 18 | Die Gleichung hat eine Wurzel: x = 3 |
| 3x 2 + 6x + 3 = 0 | 3, 6, 3 | Die Gleichung hat eine Wurzel: x = -1 |
In allen obigen Beispielen haben Gleichungen nur eine Lösung, da ihre Diskriminanz 0 ist. Dies ist ein besonderer Fall, der bei der Lösung quadratischer Gleichungen berücksichtigt werden muss.
Wie löst man eine nulldiskriminante Gleichung
Wenn die Diskriminante einer Gleichung Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung nur eine Wurzel hat. Die Lösung einer solchen Gleichung kann in der folgenden Form dargestellt werden:
| Typ der Gleichung | Die Entscheidung |
|---|---|
| quadratische Gleichung | Wenn die Gleichung die Form ax^2 + bx + c = 0 hat und die Diskriminante D = 0 ist, ist die Lösung die einzige Wurzel von x = -b/2a |
| Lineare Gleichung | Wenn die Gleichung die Form ax + b = 0 hat und die Diskriminante D = 0 ist, ist die Lösung die einzige Wurzel von x = -b/a |
Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung x^2 + 4x + 4 = 0. Die Diskriminante dieser Gleichung ist 0. Wir werden es lösen:
Für eine quadratische Gleichung:
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
x = (-b ± √D) / 2a = (-4 ± √0) / 2(1) = -4/2 = -2
Die Lösung der Gleichung x^2 + 4x + 4 = 0 wäre also x = -2.
Für eine lineare Gleichung:
D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(1)(4) = 0 - 16 = -16
x = (-b ± √D) / 2a = (0 ± √(-16)) / 2(1)
Da die Diskriminanz negativ ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln. Die Lösungen sind komplexe Zahlen. In unserem Beispiel gibt es keine Lösungen.
Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass die Gleichung, wenn die Diskriminante Null ist, nur eine Wurzel hat, und wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln.
