Um eine Lösung für diesen Ausdruck zu finden, verwenden wir die trigonometrischen Formeln und Eigenschaften der Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.
Dieser Ausdruck kann in mehrere Begriffe unterteilt werden - 2sin150°, 4cos120° und 2tg45°sin120°ctg150°. Betrachten wir jedes Element einzeln.
Das erste Element ist 2sin150 °. Da sin150° = sin(180° - 30°) = sin30° = 1/2 ist, dann 2sin150° = 2 * 1/2 = 1.
Das zweite Element ist 4cos120 °. Da cos120° = cos(180° - 60°) = cos60° = 1/2 ist, ist 4cos120° = 4 * 1/2 = 2.
Das dritte ist 2tg45°sin120°ctg150°. Wir finden die Werte tg45°, sin120° und ctg150°. Da tg45 ° = 1, sin120 ° = √ 3/2 und ctg150 ° = 1 / √ 3 ist, erhalten wir 2tg45 ° sin120 ° ctg150° = 2 * 1 * √3/2 * 1/√3 = √3.
Jetzt addieren wir alle erhaltenen Werte der Bestandteile: 1 + 2 + √3 = 3 + √3.
Daher ist der Wert des Ausdrucks 2sin150° + 4cos120° + 2tg45°sin120°ctg150° 3 + √3.
Ein mathematischer Ausdruck, der Sinus- und Kosinusfunktionen enthält
Stellen wir uns den mathematischen Ausdruck vor: 2sin150° + 4cos120° + 2tg45°sin120°ctg150°. Hier bezeichnen die Symbole sin, cos, tg und ctg jeweils die Funktionen des Sinus, des Kosinus, des Tangens und des Kotangens. Die Symbole innerhalb der Klammern geben Winkel in Grad an.
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um diesen Ausdruck zu lösen:
- Berechnen Sie die Sinus- und Kosinuswerte für die Winkel 150° und 120°. Der Wert von sin150° ist 0.5 und der Wert von cos120° ist -0.5.
- Berechnen Sie den Tangentenwert für einen Winkel von 45°. Der Wert von tg45° ist 1.
- Berechnen Sie den Sinus- und Kotangenswert für die Winkel 120° und 150°. Der Wert von sin120° ist √3/2 und der Wert von ctg150° ist√3/3.
- Ersetzen Sie die gefundenen Werte in den ursprünglichen Ausdruck und führen Sie die Berechnungen durch:
| Ausdruck | Bedeutung |
|---|---|
| 2sin150° | 1 |
| 4cos120° | -2 |
| 2tg45° | 2 |
| sin120°ctg150° | -√3/3 |
Der Gesamtwert des Ausdrucks ist gleich 1 + (-2) + 2 + (-√3/3) = -√3/3 - 1.
Daher ist der mathematische Ausdruck 2sin150° + 4cos120° + 2tg45°sin120°ctg150° gleich -√3/3 - 1.
Auswahl der Winkelwerte: 150, 120 und 45 Grad
- 150-Grad-Winkel
- 120-Grad-Winkel
- Ein 120-Grad-Winkel ist ein spitzer Winkel, der im dritten Quadranten der Koordinatenebene liegt. In einem Grad ist dies der Winkel, der 1/3 der vollen Umdrehung beträgt. Für einen Winkel von 120 Grad beträgt der Sinus- und Kosinuswert -0,866 bzw. -0,5.
- 45-Grad-Winkel
- Ein 45-Grad-Winkel ist der spitzen Winkel, der im ersten Quadranten der Koordinatenebene liegt. Es kann zum Beispiel gefunden werden, indem man 90 Grad in zwei Hälften teilt. Für einen 45-Grad-Winkel ist der Tangentialwert 1 und der Sinus- und Kosinuswert 0,707.
Verwenden der Funktionen Tangens und Kotangens
Die Tangente (tg) eines Winkels ist definiert als das Verhältnis des Sinus eines Winkels zum Kosinus eines Winkels:
tg(x) = sin(x) / cos(x)
Der Tangente kann beispielsweise verwendet werden, um Dreiecke zu lösen oder Winkelwerte in geometrischen Problemen zu berechnen.
Der Kotangens (ctg) eines Winkels ist definiert als das Verhältnis des Kosinus eines Winkels zum Sinus eines Winkels:
ctg(x) = cos(x) / sin(x)
Der Kotangens kann auch verwendet werden, um geometrische Probleme zu lösen und Winkelwerte zu berechnen.
Im betrachteten Ausdruck "2tg45sin120ctg150" werden die Funktionen Tangens und Kotangens zusammen mit den Sinus- und Kosinuswinkeln von Winkeln verwendet. Um diesen Ausdruck zu lösen, müssen Sie die Werte der Funktionen nacheinander berechnen und sie mithilfe mathematischer Operationen in den Ausdruck einfügen.
Berechnen von Funktionswerten mithilfe einer Funktionstabelle
Sie können die Funktionstabelle verwenden, um die Werte von Funktionen wie Sinus, Kosinus und Tangente zu berechnen. Die Funktionstabelle zeigt die Werte dieser Funktionen für verschiedene Winkel an.
Um beispielsweise einen Sinuswert zu berechnen, finden Sie in der Tabelle den Sinuswert für den gewünschten Winkel und multiplizieren ihn mit dem entsprechenden Faktor. Sie können dies auch mit anderen Funktionen tun.
Um den Ausdruck 2sin150 zu lösen, finden wir in der Tabelle den Sinuswert für einen Winkel von 150 Grad, der 0.5 ist. Multiplizieren wir diesen Wert mit 2 und erhalten 1.
In ähnlicher Weise finden wir für den Ausdruck 4cos120 in der Tabelle den Kosinuswert für einen Winkel von 120 Grad, der -0.5 ist. Multiplizieren wir diesen Wert mit 4 und erhalten -2.
Sie können die Formel tg(x) = sin(x) / cos(x) verwenden, um den Tangentialwert zu berechnen. Für den Ausdruck 2tg45sin120ctg150 finden wir in der Tabelle die Werte für Sinus, Kosinus und Tangente für die entsprechenden Winkel. Wir ersetzen diese Werte in die Formel und erhalten das Ergebnis.
Die Verwendung einer Funktionstabelle ermöglicht daher die Berechnung von Funktionswerten für verschiedene Winkel, was bei der Lösung mathematischer Probleme und beim Zeichnen von Diagrammen nützlich sein kann.
