Zuerst werden wir uns mit der Gleichung selbst befassen. In diesem Fall haben wir ein Polynom achten Grades, das als 2x ^8-2x ^ 4 geschrieben ist. Natürlich möchten wir wissen, wie viele Lösungen eine gegebene Gleichung hat.
Um die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung zu finden, müssen wir ihr Diagramm betrachten. In diesem Fall sehen wir, dass die Gleichung zwei Bestandteile hat, von denen jede eine monotone Funktion darstellt. Daher wird das Diagramm dieser Gleichung die Summe zweier monotoner Funktionen darstellen.
Die Anzahl der Gleichungswurzeln wird durch die Anzahl der Schnittpunkte des Diagramms dieser Summe mit der Abszissenachse bestimmt. Wenn das Diagramm die Achse der Abszisse mehr als einmal schneidet, hat die Gleichung mehrere Wurzeln. Wenn das Diagramm die Achse der Abszisse nicht schneidet, hat die Gleichung keine Lösungen.
Für unsere Gleichung 2x^8-2x^4 hängt die Anzahl der Wurzeln daher davon ab, welcher Wert bei der Gleichheit y = 0 erhalten wird. Wenn die Gleichung bei den angegebenen Werten Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung eine Wurzel hat. Wenn bei den angegebenen Werten eine negative Zahl erhalten wird, hat die Gleichung keine Wurzeln.
Gleichung 2x^8-2x^4: Anzahl der Wurzeln und ihre Eigenschaften
Um die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung zu bestimmen, müssen Sie ihren Diskriminanten berücksichtigen, der Null oder eine positive Zahl ist, wenn die Gleichung Wurzeln hat, und eine negative Zahl, wenn die Gleichung keine Wurzeln hat.
Die Diskriminante der Polynomgleichung wird im Allgemeinen durch die Formel D = b^2-4ac berechnet. In dieser Gleichung sind die Koeffizienten a, b und c jeweils 2, 0 bzw. -2.
Wenn wir diese Werte in die Formel einfügen, erhalten wir D=(0)^2-4*2*(-2)=16. Da die Diskriminanz positiv ist, hat die Gleichung Wurzeln.
Als nächstes definieren wir die Eigenschaften der Wurzeln der Gleichung. Dazu finden wir die Ableitung der Gleichung und lösen die Gleichung auf das Vorhandensein von Höhen und Tiefen.
Die Ableitung der Gleichung 2x ^8-2x ^ 4 ist 16x^ 7-8x ^ 3. Finden wir die Wurzeln dieser Gleichung, indem wir sie mit Null gleichstellen: 16x ^7-8x ^ 3 = 0.
Die Lösung für diese Gleichung sind zwei Wurzeln: x=0 und x=1/√2. Daher hat die Gleichung 2x^8-2x^4 zwei Wurzeln: x=0 und x=1/√2.
Die Wurzel x=0 ist ein Vielfaches der Wurzel, da ihr Gradmesser 4 ist und der Grad der Gleichung 8 ist. Die Wurzel x=1/√2 ist auch ein Vielfaches der Wurzel, da ihr Grad 4 ist und der Grad der Gleichung 8 ist.
Daher hat die Gleichung 2x^8-2x^4 zwei Wurzeln: ein Vielfaches der Wurzel x=0 und ein Vielfaches der Wurzel x=1/√2.
Definition und Art der Gleichung
Alle Gleichungen können nach ihrer Struktur und ihren Merkmalen in verschiedene Arten unterteilt werden. Eine dieser Arten ist die Potenzgleichung. In einer Potenzgleichung tritt eine unbekannte Variable in einem oder mehreren Graden ein.
Ein Beispiel für eine Potenzgleichung ist die Gleichung 2x^8-2x^4. In diesem Fall tritt die unbekannte Variable x in zwei Stufen ein – die 8. und die 4..
Die einfachste Art der Gleichung
Die einfachste Art der Gleichung ist eine Gleichung, bei der die Koeffizienten vor Variablen gleich eins sind und keine anderen Polynome oder Variablengrade vorhanden sind.
Zum Beispiel die Gleichung x + 2 = 5 dies ist die einfachste Art, da der Koeffizient vor der Variablen x 1 ist und keine anderen Polynome oder Variablengrade vorhanden sind.
Gleichung 2x^2 - 3x + 1 = 0 ist nicht die einfachste Art, da der Koeffizient vor dem höchsten Grad der Variablen nicht 1 ist.
Die einfachste Art der Gleichung kann erreicht werden, indem die ursprüngliche Gleichung mit algebraischen Operationen und Regeln konvertiert wird.
Lösung der einfachsten Art der Gleichung
Eine Gleichung dieses Typs wie 2x ^8-2x ^ 4 hat die einfachste Form, dh alle Konstitutionen enthalten nur eine Variable und den gleichen Grad dieser Variablen.
Um die Wurzeln dieser Gleichung zu finden, nehmen wir zuerst den gemeinsamen Multiplikator heraus, der in diesem Fall 2x ^ 4 ist:
Als nächstes lösen wir den Ausdruck in Klammern (x^4-1) und ersetzen ihn durch eine neue Variable, zum Beispiel y:
Jetzt erhalten wir die einfachste Gleichung 2x ^ 4y = 0. Wir machen seine Lösung, indem wir jeden der Multiplikatoren mit Null gleichstellen:
- 2x ^4 = 0, die Lösung wäre x = 0;
- y = x^4-1 = 0, die Lösungen sind x = 1 und x = -1.
Die Gleichung 2x^8-2x^4 hat also drei Wurzeln: x = 0, x = 1 und x = -1.
Zählen der Wurzeln einer Gleichung
Um die Wurzeln dieser Gleichung zu zählen, sollten Sie sie in eine Form bringen, wenn auf einer Seite eine Null steht:
Anschließend können Sie den Ausdruck faktorisieren, indem Sie einen gemeinsamen Multiplikator zuweisen:
Als nächstes müssen Sie jeden der Multiplikatoren lösen:
2x 4 = 0, wobei x = 0
Der Einfachheit halber können Sie eine Substitution durchführen:
sei y = x 2 , dann ist 2 -1 = 0, und die Lösung dieser Gleichung wird sein:
y = ± 1, und da y = x 2 ist, folgt aus der Gleichung:
x 2 = ±1, und die Lösungen für diese Gleichung werden sein:
Daher hat die Gleichung 2x 8 -2x 4 drei Wurzeln: 0, 1 und -1.
Eigenschaften der Gleichungswurzeln
Die Gleichung 2x^8-2x^4 gleich Null hat Wurzeln, dh die Werte der Variablen x, bei denen die Gleichung ausgeführt wird. Um die Eigenschaften der Wurzeln dieser Gleichung zu bestimmen, müssen Sie sie lösen.
Zuerst nehmen wir einen gemeinsamen Multiplikator aus beiden Mitgliedern der Gleichung heraus: 2x ^ 4 (x^4-1) = 0.
Hier können Sie feststellen, dass der erste Multiplikator bei x = 0 Null ist und der zweite Multiplikator (x^4-1) bei x = ±1 Null ist.
Die Gleichung hat also drei Wurzeln: x = 0, x = 1 und x = -1.
Um jedoch die Eigenschaften dieser Wurzeln zu bestimmen, müssen Sie das Verhalten der Funktion f (x) = 2x^8-2x^ 4 in der Nachbarschaft jeder Wurzel analysieren.
| Wurzel | Wurzeltyp | Verhalten der Funktion f(x) |
|---|---|---|
| x = 0 | vertikale Tangente | f(x) > 0 bei x < 0 und f(x) < 0 при х >0 |
| x = 1 | horizontale Tangente | f(x) > 0 bei x < 1 und f(x) < 0 при х >1 |
| x = -1 | horizontale Tangente | f(x) > 0 bei x < -1 und f(x) < 0 при х >-1 |
