Die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl ist eine mathematische Operation, mit der Sie eine Zahl finden können, bei der die ursprüngliche komplexe Zahl in einem bestimmten Grad berechnet wird. Auf den ersten Blick kann es schwierig erscheinen, die Wurzel eines Grades aus einer komplexen Zahl zu finden, aber es gibt tatsächlich mehrere Methoden, die bei der Lösung dieses Problems helfen.
Eine Methode, um die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl zu finden, besteht darin, die trigonometrische Form einer komplexen Zahl zu verwenden. Um dies zu tun, müssen Sie die ursprüngliche komplexe Zahl in algebraischer Form darstellen und dann die Euler-Formel verwenden, um die komplexe Zahl in trigonometrischer Form darzustellen. Danach können Sie die Formel anwenden, um die Gradwurzel aus einer trigonometrischen Zahl zu finden, indem Sie den Wert des Grads und den Winkel im Bogenmaß kennen.
Eine andere Methode, um die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl zu finden, besteht darin, die indikative Form einer komplexen Zahl zu verwenden. Dazu müssen Sie zuerst die ursprüngliche komplexe Zahl in algebraischer Form darstellen und dann die Euler-Formel verwenden, um die komplexe Zahl in repräsentativer Form darzustellen. Danach können Sie die Formel anwenden, um die Wurzel des Grads aus einer indikativen Zahl zu finden, indem Sie den Wert des Grads und die indikative Form einer komplexen Zahl kennen.
Der Grad der komplexen Zahl und ihre Wurzeln: Was ist das?
Im Allgemeinen wird der Grad der komplexen Zahl z wie folgt in die Potenz n umgewandelt:
wobei rz - modul der komplexen Zahl z und φz - argument (Winkel) der komplexen Zahl z.
Die Wurzeln einer komplexen Zahl sind die Werte von z 1/n , die der Gleichung entsprechen:
wobei n eine natürliche Zahl ist und die Zahlen rz 1/n ∠(1/nφz) sind die Wurzeln des n-ten Grades der komplexen Zahl z.
Die Wurzeln einer komplexen Zahl werden als komplexe Zahlen mit unterschiedlichen Argumentwerten dargestellt. Die Anzahl der Wurzeln einer komplexen Zahl hängt vom angegebenen Grad ab.
Verschiedene Methoden können verwendet werden, um die Wurzeln einer komplexen Zahl zu finden, z. B. die passive Winkeltrennung und die Verwendung der De-Moivre-Formel.
Weitere Informationen zu Methoden zum Finden der Wurzeln einer komplexen Zahl und ihren Beispielen finden Sie in anderen Abschnitten dieses Artikels.
Der Grad der komplexen Zahl: Definition, Eigenschaften und grundlegende Konzepte
komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und i eine imaginäre Einheit ist, die als Quadratwurzel von -1 definiert ist.
Eigenschaften des Grads einer komplexen Zahl:
- Multiplikation komplexer Zahlen: wenn zwei komplexe Zahlen multipliziert werden, werden ihre Module multipliziert und die Argumente addiert;
- Errichtung einer komplexen Zahl in eine Potenz: wenn eine komplexe Zahl in eine Potenz umgewandelt wird, wird ihr Modul auf den angegebenen Grad erhöht, und sein Argument wird mit dem Exponenten multipliziert;
- Die Wurzel des Grads aus einer komplexen Zahl: die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl kann gefunden werden, indem diese Zahl in den umgekehrten Grad zu einem angegebenen Indikator gebracht wird.
Die grundlegenden Konzepte, die mit dem Grad einer komplexen Zahl verbunden sind, sind Modul und Argument.
Modul für komplexe Zahlen definiert den Abstand zwischen dem Ursprung und dem Punkt, den eine komplexe Zahl in der komplexen Ebene darstellt.
Das Argument einer komplexen Zahl stellt den Winkel zwischen dem Vektor dar, der den Ursprung und den Punkt einer komplexen Zahl verbindet, und der positiven Richtung der tatsächlichen Achse.
Wenn wir das Modul und das Argument einer komplexen Zahl kennen, können wir es in der indikativen Form der Form |z| * e^(i*φ) schreiben, wobei |z| das Modul der Zahl z ist und φ das Argument der Zahl z ist.
Daher ist es wichtig, die Definition, Eigenschaften und grundlegenden Konzepte zu verstehen, die mit dem Grad einer komplexen Zahl verbunden sind, um dieses mathematische Konzept zu studieren und zu verwenden.
Methoden, um die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl zu finden
Nach der Euler-Formel wird eine komplexe Zahl als dargestellt: z = r * (cosθ + i * sinθ) wobei r das Zahlenmodul ist, θ das Zahlenargument.
Um die Wurzel der Potenz n aus der komplexen Zahl z zu finden, können ihr Modul und Argument als dargestellt werden: r = √(|z|) und θ = arg(z).
Um dann die Wurzel der Potenz n aus der komplexen Zahl z zu finden, müssen Sie die Wurzel des n-ten Grads aus dem Zahlenmodul nehmen und das Argument durch n teilen:
√z = √(|z|) * (cos(θ/n) + i * sin(θ/n))
Die resultierende Zahl ist die Wurzel des Grads n aus der ursprünglichen komplexen Zahl z.
Zum Beispiel, um die kubische Wurzel aus der komplexen Zahl -2 + 2i zu finden:
Zuerst finden wir das Zahlenmodul und sein Argument: |z| = √((-2)^2 + (2)^2) = √8 ≈ 2.83 und arg(z) = arctg(2/(-2)) + π ≈ 2.35 + π ≈ 5.50
Um dann die kubische Wurzel aus der komplexen Zahl -2 + 2i zu finden, nehmen wir die Quadratwurzel aus dem Modul und teilen das Argument durch 3:
√z = √2.83 * (cos(5.50/3) + i * sin(5.50/3)) ≈ 1.52 * (-0.22 + i * 0.97) ≈ -0.33 + i * 1.47
Wir haben die kubische Wurzel aus der komplexen Zahl -2 + 2i erhalten, die ungefähr -0.33 + i * 1.47 entspricht.
Methode 1: Die indikative Form der Zahl und die Formel von De Moivre
Die indikative Form einer komplexen Zahl hat die Form z = r * (cos φ + i * sin φ), wobei r das Modul der Zahl ist und φ das Argument der Zahl ist. Das Zahlenmodul kann mit der Formel |z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2) gefunden werden, wobei Re(z) der reelle Teil der Zahl ist und Im(z) der imaginäre Teil der Zahl ist.
Die Wurzel der Potenz n aus der komplexen Zahl z kann mit der Formel von De Moivre gefunden werden: z^(1/n) = (r^(1/n)) * [cos(φ/n) + i * sin(φ/n)].
Die Anwendung dieser Methode erfordert das Berechnen des Moduls und des Arguments der ursprünglichen Zahl und das Berechnen des Moduls und des Arguments der Gradwurzel. Danach finden wir die resultierende Zahl mit der Formel De Moivre.
Lassen Sie die komplexe Zahl z = a + bi geben und Sie müssen die Wurzel der Potenz n finden. Zuerst finden wir das Modul der Zahl: r = √(a ^ 2 + b^ 2). Dann finden wir das Argument der Zahl: φ = arctan(b /a), wobei a der reelle Teil der Zahl ist, b der imaginäre Teil der Zahl ist. Als nächstes definieren wir das Modul der Gradwurzel: q = r ^ (1 / n) und das Argument der Gradwurzel: ψ = (φ + 2πk) / n, wobei k eine Ganzzahl ist. Und schließlich finden wir die resultierende Zahl: z^(1/n) = q * [cos(ψ) + i * sin(ψ)].
Methode 2: Verwenden der geometrischen Interpretation komplexer Zahlen
Stellen wir zunächst eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form dar, indem wir ihr Modul und Argument verwenden. Lassen Sie die Zahl als dargestellt werden z = r(cosθ + isinθ), wo r - Zahlenmodul und θ - das Zahlenargument.
Um die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl zu finden, extrahieren Sie einfach die Wurzel des Grads aus dem Modul der Zahl und teilen das Argument der Zahl durch diesen Grad auf. Lassen Sie die gesuchte Wurzel als dargestellt werden √z = √r(cos(θ/n) + isin(θ/n)), wo n - der Grad der Wurzel.
Wenn Sie diese Methode anwenden, können Sie alle Wurzeln eines Grads aus einer komplexen Zahl finden. Lassen Sie uns zum Beispiel die kubische Wurzel aus der komplexen Zahl -1 finden. Stellen Sie sich dazu eine Zahl in trigonometrischer Form vor: -1 = 1(cosπ + isinπ). Dann extrahieren wir die kubische Wurzel aus dem Zahlenmodul: √1 = 1. Teilen wir das Zahlenargument durch 3: π/3. So erhalten wir die kubische Wurzel aus der Zahl -1: √-1 = 1(cos(π/3) + isin(π/3)).
Durch die Verwendung der geometrischen Interpretation komplexer Zahlen können Sie ihre Eigenschaften visuell darstellen und die Berechnung der Gradwurzeln aus komplexen Zahlen vereinfachen.
Methode 3: Komplexe Zahlendefinition von Wurzeln durch Multiplikation
Wenn wir die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl finden müssen, können wir die Methode der komplexen Zahlendefinition durch Multiplikation verwenden. Diese Methode basiert darauf, dass wir eine komplexe Zahl in indikativer Form darstellen und die Multiplikationseigenschaft komplexer Zahlen verwenden können, um die Wurzeln zu finden.
Angenommen, wir haben eine komplexe Zahl z = a + bi, wo a und b - reelle Zahlen. Um die Wurzel des Grads zu finden n von dieser Zahl können wir schreiben z in aufschlussreicher Form als z = r * (cosθ + i sinθ), wo r - Zahlenmodul z, θ - Zahlenargument z.
Dann können wir die Zahl erhöhen z in Grad 1/n mit der Multiplikationseigenschaft komplexer Zahlen und der Moivre-Formel:
| Formel | Ergebnis |
|---|---|
| z^(1/n) = r^(1/n) * (cos(θ/n) + i sin(θ/n)) | Wurzel des Grades n aus den Zahlen z |
Auf diese Weise können wir die Wurzel des Grads aus einer komplexen Zahl finden, indem wir sie in indikativer Form darstellen und die Moivre-Formel mit einem Modul und einem Argument anwenden.
Es ist wichtig zu beachten, dass es mehrere Werte geben kann, um die Wurzel eines Grads aus einer komplexen Zahl zu finden, da der Winkel θ hat eine Periodizität 2π. Um alle Werte einer solchen Wurzel zu finden, müssen Sie alle möglichen Werte verwenden θ/n im Bereich von 0 bis 2π/n.
