Die Wurzel der Gleichung ist der Wert, durch den die Gleichung ersetzt wird. Aber was ist zu tun, wenn die Diskriminanz Null ist? In diesem Artikel werden wir die grundlegenden Methoden und Regeln für die Wurzelsuche in dieser Situation untersuchen.
Eine Diskriminante (bezeichnet als d) ist eine Zahl, die durch die Formel d = b^2 – 4ac definiert wird, wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung sind. Wenn d gleich Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung nur eine Wurzel hat oder, anders gesagt, eine quadratische Gleichung mit vielfachen Wurzeln ist.
Um die Wurzel bei d = 0 zu finden, werden zwei Hauptmethoden verwendet: die Methode zur Lösung einer quadratischen Gleichung und die Methode zur Reduzierung von Vielfachen Wurzeln. Die erste Methode beinhaltet die Berechnung der Wurzel durch die Formel x = -b/2a, wobei x die gesuchte Wurzel ist. Die zweite Methode besteht darin, die Gleichung in eine kanonische Form zu bringen und die Wurzel zu finden, ohne eine Formel zu verwenden.
Definition der Wurzel bei d=0
Wenn die Diskriminante (d) Null ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat. Mit der Diskriminanz können Sie die Anzahl und Art der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bestimmen.
Die Formel zum Finden des Diskriminanten einer quadratischen Gleichung lautet: D = b^2 - 4ac
Die folgende Regel wird verwendet, um die Wurzel bei d=0 zu bestimmen:
- Wenn die Diskriminante Null ist (D=0), hat die quadratische Gleichung eine einzige Wurzel.
- Die Wurzel der quadratischen Gleichung bei D = 0 wird durch die Formel definiert: x = -b / 2a.
Wenn also die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung eine einzige Wurzel, die durch die Formel gefunden werden kann.
Was ist die Wurzel?
Die Wurzel wird durch das Symbol √ gekennzeichnet und vor der Zahl geschrieben, aus der die Wurzel extrahiert werden soll. Sie können auch einen Index verwenden, um den Grad der Wurzel anzugeben.
Zum Beispiel ist die Quadratwurzel von √ aus der Zahl 16 4, da 4^2 = 16 ist. Die kubische Wurzel von √ 3 aus der Zahl 27 ist 3, da 3^3 = 27 ist.
Die Wurzel kann rational oder irrational sein. Rationale Wurzeln können durch eine Dezimalzahl oder einen gewöhnlichen Bruch dargestellt werden, und irrationale Wurzeln sind unendliche Dezimalzahlen ohne Periode.
Wenn Sie Gleichungen lösen, können die Wurzeln eine oder mehrere sein, ihre Anzahl hängt vom Grad der Gleichung ab. Zum Beispiel gibt es für eine Gleichung der Form x^2 = 9 zwei Wurzeln: 3 und -3.
Die Wurzeln sind in verschiedenen Bereichen der Mathematik, Physik und Technik von wesentlicher Bedeutung und werden bei der Lösung einer Vielzahl von Aufgaben verwendet.
Was ist die Wurzel bei d = 0?
Die Formel zum Finden einer solchen Wurzel lautet wie folgt:
| Die Wurzel der quadratischen Gleichung bei d=0: | x = -b/(2a) |
|---|
Wobei a, b und c die Koeffizienten einer quadratischen Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0 sind.
Wenn also d = 0 ist, reicht es aus, die Werte der Koeffizienten a und b in die Formel zu setzen und einfache arithmetische Aktionen auszuführen, um die Wurzel einer quadratischen Gleichung zu finden.
Grundlegende Methoden zum Finden der Wurzel bei d=0
Beim Lösen der quadratischen Gleichung ax^2 + bx + c = 0, wenn die Diskriminante Null ist (d = 0), gibt es zwei grundlegende Methoden, um die Wurzeln zu finden.
1. Die Methode des vollen Quadrats:
Wenn d = 0 ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung zwei identische Wurzeln hat. Um diese Wurzeln zu finden, ist es notwendig, die Gleichung in Form (x - m)^ 2 = 0 zu bringen, wobei m eine Zahl ist.
Die Gleichung ist gegeben: x ^ 2 - 6x + 9 = 0. Wir bringen es in die Form (x - 3)^ 2 = 0, wobei m = 3 ist.
Lösung: x - 3 = 0 => x = 3
2. Ersetzungsmethode:
Wenn d = 0 ist, bedeutet dies, dass die quadratische Gleichung zwei identische Wurzeln hat. Um diese Wurzeln zu finden, können Sie eine der Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einfügen und überprüfen.
Die Gleichung ist gegeben: x ^ 2 + 4x + 4 = 0.
Finden wir den Wert einer der Wurzeln, indem wir den Wert -2 in die ursprüngliche Gleichung einfügen:
(-2)^2 + 4*(-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0
Die Wurzeln der Gleichung sind also x = -2.
Dies sind die grundlegenden Methoden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung bei d = 0 zu finden. Verwenden Sie sie, um Aufgaben zu lösen und in der Praxis umzusetzen. Viel Glück!
Ersetzungsmethode
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um die Ersetzungsmethode anzuwenden:
- Lassen Sie eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0 geben, wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung sind.
- Ermitteln Sie den Wert einer der Wurzeln der Gleichung mithilfe der Diskriminanzformel (-b / 2a).
- Ersetzen Sie den Wert der gefundenen Wurzel durch die Gleichung und vereinfachen Sie sie zu einer linearen Gleichung der Form kx + c = 0.
- Löse die lineare Gleichung und finde die zweite Wurzel.
- Überprüfen Sie die resultierenden Wurzeln durch Substitution in die ursprüngliche Gleichung. Wenn beide Wurzeln der Gleichung entsprechen, sind sie die Wurzeln der ursprünglichen quadratischen Gleichung.
Die Ersetzungsmethode kann beim Lösen von Gleichungen mit einem Diskriminanten von Null nützlich sein. Es ermöglicht Ihnen, die Wurzeln einer Gleichung zu finden, indem Sie einen einfachen Ersatz und eine konsistente Lösung linearer Gleichungen verwenden.
Faktorisierungsmethode
Die folgenden Schritte sind erforderlich, um die Faktorisierungsmethode anzuwenden:
- Ein quadratisches Dreiglied in zwei lineare Multiplikatoren aufteilen.
- Gleichsetzen Sie jeden der Multiplikatoren auf Null und lösen Sie die resultierenden linearen Gleichungen.
- Die resultierenden Werte sind die Wurzeln des ursprünglichen quadratischen Dreigliedes.
Die Verwendung der Faktorisierungsmethode ermöglicht es Ihnen, die Wurzel einer Gleichung mit d=0 zu finden, wenn die Gleichung in zwei lineare Multiplikatoren zerlegt werden kann. Diese Methode kann besonders nützlich sein, wenn Gleichungen der Form x 2 +bx=0, x 2 -bx=0 oder x 2 +c=0 gelöst werden, wobei b und c bekannte Koeffizienten sind.
Beachten Sie jedoch, dass die Faktorisierungsmethode nicht immer auf ein quadratisches Dreiglied mit d=0 anwendbar ist. In einigen Fällen kann es erforderlich sein, andere Methoden zu verwenden, z. B. die Methode des vollständigen Quadrats oder die Methode zur Ergänzung des Quadrats.
Die Methode des vollen Quadrats
- Wenn d = 0 ist, hat die Gleichung nur eine Wurzel.
- Um diese Wurzel zu finden, ist es notwendig, die Gleichung in Form (x ± a)^2 = 0 zu bringen, wobei a eine Zahl ist.
- Aus dieser Gleichung folgt, dass x ± a = 0 ist.
- Wenn wir diese Gleichung lösen, finden wir den Wert von x.
- Der resultierende Wert von x ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung mit d = 0.
Die Anwendung der vollständigen Quadratmethode erfordert normalerweise, dass die Gleichung in eine quadratische Form umgewandelt und die resultierende Gleichung gelöst wird. Diese Methode ist für ihre Einfachheit und Effizienz bekannt.
Grafische Methode
Um die grafische Methode anzuwenden, müssen Sie einen Graphen einer Funktion erstellen, die der Gleichung entspricht, die die Form f (x) = ax^ 2 + bx + c hat. Als nächstes müssen Sie den Schnittpunkt des Graphen mit der Abszissenachse finden.
Wenn die Gleichung die Form ax^2 + bx + c = 0 hat, müssen Sie die Gleichung als f (x) = ax^2 + bx + c darstellen, um ein Diagramm zu erstellen, wobei f (x) eine Funktion ist.
Um den Schnittpunkt des Diagramms mit der Abszissenachse zu finden, müssen Sie die Wurzeln der Gleichung finden. Die Wurzeln der Gleichung sind die Koordinaten des Schnittpunkts des Diagramms mit der Abszissenachse.
Die grafische Methode ist nicht immer eine ziemlich genaue und bequeme Methode, um die Wurzeln einer Gleichung zu finden, vorausgesetzt, der Diskriminant ist Null. Außerdem gibt diese Methode keinen genauen Wert für die Wurzeln an, sondern nur den ungefähren Wert. Daher wird empfohlen, andere Methoden wie die Substitutionsmethode oder die Faktorisierungsmethode zu verwenden, um ein genaueres Ergebnis zu erzielen.
Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass eine grafische Methode nützlich sein kann, um die Wurzel einer Gleichung schnell zu bestimmen, vorausgesetzt, dass d=0 ist.
