Rekursion ist eine Methode, um ein Problem zu lösen, indem Sie sich selbst erneut aufrufen. In der Programmierung werden rekursive Algorithmen häufig verwendet, um komplexe Probleme zu lösen, einschließlich der Berechnung des Funktionswerts. Eine solche Funktion ist die Funktion f(n), die den Wert des Arguments n anhand eines bestimmten Algorithmus berechnet.
Der Algorithmus zur Berechnung der Funktion f(n) ist eine Kette von rekursiven Aufrufen, von denen jeder den Wert des Arguments n reduziert und das Ergebnis beim Rückwärtsgang der Rekursion zurückgibt. Um den Wert der Funktion f(n) zu berechnen, müssen Sie daher die Funktionswerte für kleinere Argumentwerte kennen.
Betrachten wir zur Verdeutlichung einige Beispiele für die Berechnung der Funktion f(n) mit verschiedenen Werten des Arguments n:
Beispiel 1: Berechnung von f(0)
- Aufruf der Funktion f(0)
- Gibt den Wert 0 zurück
Beispiel 2: Berechnung von f(1)
- Aufruf der Funktion f(1)
- Aufruf der Funktion f(0)
- Gibt den Wert 0 zurück
- Rückgabewert 1
Beispiel 3: Berechnung von f(2)
- Funktion f(2) aufrufen
- Aufruf der Funktion f(1)
- Aufruf der Funktion f(0)
- Gibt den Wert 0 zurück
- Rückgabewert 1
- Rückgabewert 2
Der rekursive Algorithmus zur Berechnung der Funktion f(n) ermöglicht es uns daher, den Funktionswert für jedes angegebene Argument n unter Verwendung der vorherigen Funktionswerte zu erhalten. Dieser Algorithmus basiert auf den Merkmalen rekursiver Aufrufe und ist eine effektive Möglichkeit, ein Problem zu lösen.
Algorithmus zur Berechnung des Funktionswerts
Der Algorithmus zur Berechnung des Werts der Funktion f(n) mithilfe einer Rekursion kann wie folgt beschrieben werden:
- Wenn n null ist, geben wir einen Basiswert von f0 zurück.
- Wenn n gleich eins ist, geben wir einen anderen Basiswert von f1 zurück.
- Wenn n größer als eins ist, rufen wir die Funktion f (n-1) und die Funktion f (n-2) auf, addieren ihre Ergebnisse und geben den resultierenden Wert zurück.
Um den Wert der Funktion f(n) zu berechnen, müssen Sie also die Funktion f(n-1) und f(n-2) aufrufen, bis Sie die zugrunde liegenden Fälle erreichen (n = 0 oder n = 1).
- f(0) = f0
- f(1) = f1
- f(2) = f(1) + f(0)
- f(3) = f(2) + f(1)
- f(4) = f(3) + f(2)
- usw.
Die Verwendung von Rekursion ermöglicht eine kompakte und effiziente Lösung von Aufgaben, insbesondere in Fällen, in denen die Aufgabe selbstähnlich ist.
f(n) mit Rekursion
Um den Wert der Funktion f(n) mit Rekursion zu berechnen, müssen Sie den Basisfall (wenn die Rekursion anhalten muss) und das rekurrente Verhältnis definieren (wie man f(n) mit f(n-1), f (n-2) usw. bindet).
Ein Beispiel für eine solche Funktion könnte eine numerische Fibonacci-Folge sein, wobei jedes Element der Summe der vorherigen beiden entspricht. Auf diese Weise:
f(0) = 0 f(1) = 1 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
Um beispielsweise f(5) zu berechnen, müssen Sie die Werte f(4) und f(3) berechnen, die wiederum von f(3), f(2), f(2) und f(1) abhängen.
Die Verwendung von Rekursion ermöglicht es uns, die Berechnung von f(n) in Bezug auf die Berechnung kleinerer n-Werte leicht auszudrücken.
Beachten Sie jedoch, dass das Ausführen einer rekursiven Funktion in einigen Szenarien zu vielen rekursiven Aufrufen und Speicherausgaben führen kann. Daher ist es wichtig, sich um den zugrunde liegenden Fall zu kümmern und die rekursive Funktion zu optimieren, wenn möglich.
Beispiele für Berechnungen f0, f1, f2
Um die Funktionsweise des Algorithmus zur Berechnung des Wertes der Funktion f(n) mithilfe von Rekursion zu verstehen, betrachten wir einige Beispiele für Berechnungen.
1. Berechnung von f0:
Wenn n = 0 ist, gibt die Funktion f 0 zurück.
f0 = 0
2. Berechnung von f1:
Wenn n = 1 ist, ruft die Funktion f selbst auf, um den Wert von f0 zu berechnen, der 0 ist, und fügt dem Ergebnis 1 hinzu.
f1 = f0 + 1 = 0 + 1 = 1
3. Berechnung f2:
Bei n = 2 ruft die Funktion f selbst auf, um den Wert von f1 zu berechnen, der 1 ist, und fügt dem Ergebnis 2 hinzu.
f2 = f1 + 2 = 1 + 2 = 3
Auf diese Weise können wir die Berechnungen für jeden Wert von n mit einem rekursiven Algorithmus fortsetzen.
Beispiele für Berechnungen der Funktion f(n) für f0, f1, f2 usw.
Die Funktion f(n) wird durch Rekursion berechnet, was bedeutet, dass sie sich selbst aufruft, um den Wert zu erhalten.
Betrachten wir zur Verdeutlichung Beispiele für Berechnungen der Funktion f(n) für mehrere Werte von n:
| n | f(n) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 8 |
| 5 | 13 |
| . | . |
Wie aus den Beispielen ersichtlich ist, wird jeder nachfolgende Wert der Funktion f(n) durch Addition der beiden vorherigen Werte erhalten. Daher ist die Funktion f(n) ein rekursives Analogon der Fibonacci-Folge.
Mit der Rekursion können Sie also die Werte der Funktion f(n) für jedes angegebene n berechnen.
