Das Zeichnen eines Graphen einer fraktionierten und linearen Funktion ist eine wichtige Fähigkeit, mit der Sie Ihr Mathematikwissen vertiefen und Ihre Fähigkeit verbessern können, Daten zu analysieren und zu visualisieren. In der 10. Klasse beginnen die Schüler, diese Art von Funktion zu lernen, und in diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie Schritt für Schritt einen Graphen einer fraktionierten linearen Funktion erstellen.
Bevor wir beginnen, lassen Sie uns entscheiden, was eine fraktionierte lineare Funktion ist. Eine fraktionierte lineare Funktion hat die folgende Form: f(x) = (ax + b) / (cx + d), wobei a, b, c und d die Koeffizienten sind, die Ihnen gegeben werden.
Der erste Schritt beim Erstellen eines Graphen einer fraktionierten linearen Funktion besteht darin, den Funktionsdefinitionsbereich zu definieren. Aus der Funktionsgleichung (ax + b) / (cx + d) ist sofort ersichtlich, dass die Funktion bei einem Wert von x unbestimmt ist, für den (cx + d) Null ist. Daher wird der Funktionsdefinitionsbereich eine Menge aller gültigen x-Werte sein, dh alle x-Werte außer x = -d/c.
Beschreibung der fraktionierten linearen Funktion
Eine fraktionierte lineare Funktion, auch als rationale Funktion bekannt, ist eine Funktion der Ansicht:
f(x) = (ax + b) / (cx + d)
wo a, b, c und d - Funktionskoeffizienten, die sowohl Ganzzahlen als auch Bruchzahlen sein können.
Eine solche Funktion hat zwei Merkmale: Sie ist sowohl im Zähler als auch im Nenner linear und enthält auch einen Bruchteil.
Mit der fraktionierten linearen Funktion können viele Phänomene in verschiedenen Bereichen wie Wirtschaft, Physik, Biologie usw. modelliert werden.
Um eine fraktionierte lineare Funktion zu zeichnen, ist es wichtig, bestimmte Punkte zu definieren, z. B. vertikale Asymptoten, horizontale Asymptoten und Schnittpunkte mit Koordinatenachsen.
Wenn Sie die gefundenen Punkte in eine Tabelle aufteilen und Linien zeichnen, können Sie eine Grafik für diese Funktion erstellen.
| x | f(x) |
|---|---|
| . | . |
| . | . |
| . | . |
Schritt 1: Definieren der Asymptote
Der erste Schritt beim Erstellen eines Graphen einer fraktionierten linearen Funktion ist die Bestimmung der Asymptoten. Asymptoten sind gerade Linien, zu denen der Funktionsgraph neigt, wenn er sich der Unendlichkeit oder bestimmten Werten nähert.
Es gibt drei Arten von Asymptoten: horizontal, vertikal und geneigt.
- Horizontale Asymptoten werden an den Grenzen der Funktion definiert, wenn das Argument nach Unendlichkeit strebt. Wenn die Grenze der Funktion gleich einer Konstante ist, hat das Funktionsdiagramm eine horizontale Asymptote für diese Konstante.
- Vertikale Asymptoten werden an Punkten definiert, an denen die Funktion nicht definiert ist. Wenn die Funktionswerte, die sich diesen Punkten nähern, unendlich tendieren, hat das Funktionsdiagramm an diesen Punkten eine vertikale Asymptote.
- Geneigte Asymptoten werden an den Grenzen der Funktion definiert, wenn das Argument nach Unendlichkeit strebt. Wenn die Grenze der Funktion eine Zahl ungleich Null ist, hat das Diagramm der Funktion eine geneigte Asymptote.
Die Definition von Asymptoten ermöglicht es Ihnen, eine bruchteillineare Funktion annähernd zu zeichnen und ihr Verhalten basierend auf den Werten der Argumente zu verstehen.
Definition der horizontalen Asymptote
Um die horizontale Asymptote einer Funktion zu bestimmen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
- Bringen Sie die fraktionierte lineare Funktion in eine kanonische Form, indem Sie den Bruch nach Möglichkeit vereinfachen und reduzieren.
- Markieren Sie die am meisten "dominanten" Bestandteile im Zähler und Nenner der Funktion.
- Bestimmen Sie den Wert, den der dominanteste Teil des Nenner anstrebt.
- Der resultierende Wert ist die Koordinate der horizontalen Asymptote.
Zum Beispiel kann man für die Funktion f (x) = (3x 2 + 2) / (2x - 1) sie in eine kanonische Form bringen, indem man f(x) = 3/2 + 11 / (2x - 1) erhält. In diesem Fall ist das dominanteste Element (2x - 1), da es nach Unendlichkeit strebt, während x nach Unendlichkeit strebt. Die Koordinate der horizontalen Asymptote ist also 0.
Die Definition einer horizontalen Asymptote ermöglicht eine einfachere Visualisierung des Funktionsverhaltens im Unendlichen und die Verwendung dieser Informationen beim Zeichnen eines Graphen einer fraktionierten linearen Funktion.
Definition der vertikalen Asymptote
Eine vertikale Asymptote ist eine Gerade, die die Grenze für das Verhalten einer Funktion im Unendlichen darstellt. Es kann nach oben oder unten zeigen und kann unterschiedliche Neigungswinkel haben.
Um die vertikale Asymptote zu bestimmen, müssen Sie den Wert berücksichtigen, bei dem der Nenner einer fraktionierten linearen Funktion auf Null zurückgeht. Dies tritt auf, wenn der Nenner in der Gleichung Null ist.
Um einen Punkt zu finden, an dem der Nenner Null ist, müssen Sie ihn mit Null gleichstellen und die resultierende Gleichung lösen. Der Wert, den Sie erhalten, ist die Abszisse des Punktes, durch den die vertikale Asymptote verläuft.
Der Prozess, eine vertikale Asymptote zu finden, kann durch die folgenden Schritte veranschaulicht werden:
- Finden Sie die Werte, bei denen der Nenner der fraktionierten linearen Funktion auf Null umgeht.
- Notieren Sie die resultierenden Werte als Punkte (x, y), wobei "y" der Wert der Funktion bei gegebenem "x" ist.
- Erstellen Sie ein Feature-Diagramm, einschließlich der gefundenen Punkte.
- Führen Sie eine vertikale Gerade durch die gefundenen Punkte.
- Diese vertikale ist gerade und wird die vertikale Asymptote der Funktion sein.
Das Finden der vertikalen Asymptote einer fraktionierten linearen Funktion erfordert daher die Lösung einer Gleichung, bei der der Nenner auf Null zurückgeht. Der resultierende Punkt bestimmt die Richtung und Neigung der vertikalen Asymptote im Funktionsdiagramm.
Schritt 2: Aufsteigende und absteigende Intervalle definieren
Um die aufsteigenden und absteigenden Intervalle einer fraktionierten linearen Funktion zu bestimmen, müssen Sie:
- Suchen Sie den Funktionsdefinitionsbereich.
- Finden Sie die Funktion Bruchpunkte und Extrempunkte.
- Überprüfen Sie die Zeichen der abgeleiteten Funktion.
Dazu können Sie eine Tabelle mit den erforderlichen Daten erstellen.
| Intervall | Definitionsbereich | Schnittpunkt | Extreme Punkte | Abgeleitetes Zeichen | Aufsteigendes/absteigendes Intervall |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | [-∞, a] | 0 | – | + | Anwachsen |
| 2 | [a, b] | – | 1 | – | Dekrement |
| 3 | [b, +∞] | 0 | – | + | Anwachsen |
Basierend auf den erhaltenen Daten können auf dem Funktionsdiagramm aufsteigende und absteigende Intervalle markiert werden, um das Verhalten der Funktion auf der Koordinatenachse deutlich darzustellen.
Kritische Punkte finden
Um die kritischen Punkte zu finden, nehmen Sie zuerst die Ableitung der Funktion und gleichsetzen Sie sie auf Null. Lösen Sie dann die resultierende Gleichung, um die x-Werte zu bestimmen, bei denen die Ableitung Null ist. Wenn die resultierende Gleichung keine Lösungen aufweist, hat die Funktion keine kritischen Punkte.
Kritische Punkte können jedoch auch durch die Analyse vertikaler Asymptoten bestimmt werden. Wenn die Funktion eine vertikale Asymptote hat, hat sie eine Lücke an dem Punkt, an dem der Nenner des Bruchausdrucks auf Null zurückgeht. Sie können diese Punkte finden, indem Sie den Nenner der Funktion auf Null gleichstellen und die resultierende Gleichung lösen.
Darüber hinaus können horizontale Asymptoten auch kritische Punkte identifizieren. Wenn eine Funktion eine horizontale Asymptote hat, hat sie eine Lücke an dem Punkt, an dem ein signifikanter Funktionswert zu den Werten der horizontalen Asymptote tendiert. Um diese Punkte zu finden, setzen Sie die Funktionsgleichung auf die Ungleichheit und lösen Sie sie für x.
Die Suche nach kritischen Punkten ermöglicht ein besseres Verständnis des Verhaltens einer fraktionierten linearen Funktion und ein entsprechendes Diagramm. Seien Sie vorsichtig und vorsichtig, wenn Sie Berechnungen und Analysen einer Funktion durchführen, um Fehler zu vermeiden, und denken Sie daran, dass das Zeichnen eines Diagramms ein wichtiges Werkzeug zum Erlernen von Funktionen ist.
Schritt 3: Finden von Schnittpunkten mit Koordinatenachsen
Um ein Diagramm einer fraktionierten linearen Funktion zu erstellen, müssen Sie ihre Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen finden. Mit diesen Punkten können Sie den Anfang und das Ende des Diagramms auf der Ebene definieren.
Um den Schnittpunkt mit der Abszissenachse (X-Achse) zu finden, muss die Funktionsgleichung bei y = 0 gelöst werden:
wobei a und b die Koeffizienten der fraktionierten linearen Funktion sind.
Nachdem Sie den Wert von x gefunden haben, können Sie den entsprechenden Wert von y finden, indem Sie ihn in die ursprüngliche Gleichung einfügen.
Um den Schnittpunkt mit der Ordinatenachse (Y-Achse) zu finden, muss die Funktionsgleichung bei x=0 gelöst werden:
Nachdem Sie den Wert von y gefunden haben, können Sie den entsprechenden Wert von x finden, indem Sie ihn in die ursprüngliche Gleichung einfügen.
Die gefundenen Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen daher den Anfang und das Ende des Graphen einer fraktionierten linearen Funktion, was uns hilft, ihn genauer zu konstruieren.
Wir finden den Schnittpunkt mit der OX-Achse
Um den Schnittpunkt mit der OX-Achse zu finden, müssen Sie den Wert der Funktion f(x) auf Null gleichstellen und die Gleichung lösen.
Für eine fraktionierte lineare Funktion hat die Gleichung die Form:
a/(x - b) + c/(x - d) = 0
- a, b, c, d sind die Koeffizienten der Funktion
- x ist eine Variable
- Multiplizieren wir beide Teile der Gleichung mit dem Nenner (x - b)(x - d), um die Nenner loszuwerden: (x - d)*a + (x - b)*c = 0
- Erweitern wir die Klammern: ax - ad + cx - cb = 0
- Wir gruppieren und verschieben die Konstanten auf die rechte Seite der Gleichung: ax + cx = ad + cb
- Nehmen wir x hinter die Klammer: x(a + c) = ad + cb
- Teilen wir beide Teile der Gleichung durch (a + c), um den Wert von x zu finden: x = (ad + cb) / (a + c)
Der gefundene Wert von x ist also die Koordinate des Schnittpunkts mit der OX-Achse im Diagramm einer fraktionierten linearen Funktion.
