Wenn wir die Gleichung einer quadratischen Form lösen, finden wir eine Diskriminante, um zu bestimmen, welche Arten von Wurzeln vorhanden sind. Ein Diskriminant bestimmt, wie viele verschiedene Lösungen eine Gleichung hat. Wenn die Diskriminante 0 ist, gibt es nur eine Lösung, und der x-Wert wird durch eine bestimmte Formel bestimmt.
Die Formel zur Bestimmung des x-Werts bei einem Diskriminanten von 0 lautet wie folgt:
x = -b / (2a),
wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung sind, a muss sich von 0 unterscheiden.
Lassen Sie uns einige Beispiele zum besseren Verständnis betrachten. Angenommen, wir haben eine Gleichung x^2 - 4x + 4 = 0. Bevor wir den Wert des x bestimmen, finden wir zuerst die Diskriminanz. Diskriminante = b^2 - 4ac. im vorliegenden Fall, a = 1, b = -4 und c = 4. Wir ersetzen die Werte in die Formel und finden die Diskriminanz:
D = (-4)^2 - 4 * 1 * 4 = 0.
Da die Diskriminante 0 ist, hat die Gleichung nur eine Lösung. Mit der Formel x = -b / (2a), wir finden den Wert von x:
In einem anderen Beispiel nehmen wir an, wir haben eine Gleichung x^2 - 6x + 9 = 0. Auch hier finden wir Diskriminierung:
D = (-6)^2 - 4 * 1 * 9 = 0.
Da die Diskriminante 0 ist, haben wir auch nur eine Lösung. Mit der Formel x = -b / (2a), wir finden den Wert von x:
Wenn also der Diskriminant 0 ist, hat die Gleichung nur eine Lösung, und der x-Wert wird durch die Formel gefunden x = -b / (2a).
Lösung einer quadratischen Gleichung
Um eine Lösung für eine solche Gleichung zu finden, müssen Sie zuerst den Diskriminanten berechnen, der sich nach der Formel befindet D = b 2 - 4ac.
Wenn die Diskriminanz größer als Null ist (D > 0), dann hat die Gleichung zwei verschiedene Lösungen. Wenn die Diskriminanz Null ist (D = 0), dann hat die Gleichung eine Lösung.
Wenn die Diskriminanz kleiner als Null ist (D < 0), dann hat die Gleichung keine Lösungen.
Wenn der Diskriminant Null ist, kann x anhand der Formel gefunden werden x = -b / (2a).
Zum Beispiel haben wir eine quadratische Gleichung x 2 - 6x + 9 = 0. Hier ist a = 1, b = -6 und c = 9. Diskriminante berechnen:
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
Da der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine Lösung:
x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3
Bei einem Diskriminanten von Null ist der Wert der Variablen x also 3.
Definition von Diskriminanz
Mit der Diskriminanz können Sie die Art der Lösung einer quadratischen Gleichung bestimmen. Der Diskriminanzwert kann positiv, negativ oder Null sein.
Wenn die Diskriminanz Null ist (D = 0). dies bedeutet, dass die Gleichung eine einzige Wurzel hat - ihr Graph berührt die OX-Achse. Der Wert dieser Wurzel kann anhand der Formel berechnet werden:
x = -b/2a
Betrachten Sie eine quadratische Gleichung 2x² + 4x + 2 = 0. Wir werden seinen Diskriminanten finden:
Wir ersetzen die Werte in der Diskriminanzformel:
D = (4)² - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0
Daher ist die Diskriminanz Null. Wenn wir die Gleichung mit einer Formel für eine einzelne Wurzel lösen, erhalten wir:
x = -b/2a = -4/2*2 = -4/4 = -1
Die Gleichung hat also eine einzige Lösung, die -1 ist.
Formel zum Finden von Wurzeln
Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung einer Ansicht ax 2 + bx + c = 0 bei einem Diskriminanten von 0 sieht es folgendermaßen aus:
Sei D = b 2 - 4ac. Wenn D = 0 ist, dann ist x = -b / (2a).
Mit dieser Formel können Sie den Wert einer unbekannten Variablen bestimmen x, wobei die quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat.
Betrachten Sie zum Beispiel die quadratische Gleichung 2x 2 + 4x + 2 = 0. Mit der Formel finden wir den Wert der Variablen x:
Diskriminante D = 4 2 - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0.
Also, x = -4 / (2 * 2) = -4 / 4 = -1.
Also, wenn der Diskriminante 0 ist, ist der Wert der Variablen x ist -1.
Ein Diskriminanzfall von 0
Um den Wert von x in diesem Fall zu finden, müssen Sie die Formel verwenden:
Wobei a, b und c den Gleichungskoeffizienten der Form ax^2 + bx + c = 0 entsprechen.
Betrachten Sie zum Beispiel die quadratische Gleichung 2x^2 + 4x + 2 = 0.
Finde den Wert von x:
- a = 2, b = 4, c = 2
- Diskriminante D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 * 2 * 2 = 16 - 16 = 0
- Da die Diskriminante 0 ist, hat die Gleichung eine einzige Wurzel.
- x = -b / (2a) = -4 / (2 * 2) = -4 / 4 = -1
Die Lösung der quadratischen Gleichung 2x^2 + 4x + 2 = 0 ist also x = -1.
Lösungsbeispiele
Betrachten Sie einige Beispiele, um zu veranschaulichen, wie man den x-Wert findet, wenn der Diskriminante Null ist.
Beispiel 1:
Die quadratische Gleichung ist gegeben: x 2 - 6x + 9 = 0. Finde den x-Wert.
Zuerst berechnen wir den Diskriminanten anhand der Formel: D = b 2 - 4ac. In diesem Fall a = 1, b = -6, c = 9.
Ersetzen Sie die Werte in die Formel: D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Um seinen Wert zu finden, verwenden wir die Formel: x = -b / (2a).
Ersetzen Sie die Werte durch: x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3.
Der x-Wert ist also 3.
Beispiel 2:
Die quadratische Gleichung ist gegeben: 4x 2 + 4x + 1 = 0. Finde den x-Wert.
Wir berechnen den Diskriminanten: D = b 2 - 4ac. In diesem Fall a = 4, b = 4, c = 1.
Wir ersetzen die Werte: D = 4 2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0.
Lösen wir die Gleichung mit der Formel: x = -b / (2a).
Ersetzen Sie die Werte durch: x = -4 / (2 * 4) = -4 / 8 = -0.5.
Der x-Wert ist also -0.5.
Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung eine einzige Wurzel hat. Der genaue Wert dieser Wurzel kann mithilfe einer Formel gefunden werden:
wobei $a$, $b$ und $c$ die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind.
Beispiel: Betrachten Sie die quadratische Gleichung $x^2 - 4x + 4 = 0$. In diesem Fall ist $a = 1$, $b = -4$ und $c = 4$. Wenn wir die Formel anwenden, erhalten wir:
Daher hat die Gleichung $x^2 - 4x + 4 = 0$ eine einzelne Wurzel, die -2 ist.
