Kombination - dies ist eine einzigartige Kombination von Elementen, unabhängig von der Reihenfolge ihrer Anordnung. Wir werden herausfinden, wie viele Kombinationen aus 11 Ziffern erhalten werden können. Lassen Sie uns zunächst verstehen, wie viele Optionen wir für jede Position in einer Kombination haben.
Wenn Sie nur die Ziffern 0 bis 9 ohne Wiederholungen verwenden, können Sie 10 verschiedene Ziffern auf jede Position setzen. Somit ist die Gesamtzahl der Kombinationen aus 11 Ziffern gleich 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 10^11 = 100,000,000,000.
Wenn es jedoch erlaubt ist, die Zahlen an jeder Position zu wiederholen, ist die Anzahl der Kombinationen unterschiedlich. In diesem Fall können Sie auch eine der 10 Ziffern auf jede Position setzen. Die Gesamtzahl der Kombinationen beträgt also nur 10^11 = 100,000,000,000.
Nun, da wir wissen, wie viele Kombinationen aus 11 Ziffern bestehen können, schauen wir uns einige Beispiele an. Nehmen wir an, wir müssen eine Kombination aus 11 Ziffern bilden, wobei nur die ersten beiden Ziffern 5 sein können und die anderen Ziffern beliebig sein können.
In diesem Fall beträgt die Anzahl der kombinatorischen Variationen für die erste Position 1, da sie nur gleich 5 sein kann. Es wird auch nur eine Option für die zweite Position geben. Für andere Positionen können Sie eine beliebige der 10 Ziffern verwenden. Daher ist die Gesamtzahl der Kombinationen in diesem Fall gleich 1 * 1 * 10 ^9 = 10,000,000,000.
11-stellige Kombinationen: Die allgemeine Formel
Um die Anzahl der Kombinationen zu bestimmen, die aus 11 Ziffern bestehen können, wird die allgemeine Formel verwendet, um Kombinationen ohne Wiederholungen zu berechnen:
- Cn k ist die Anzahl der Kombinationen von n Elementen, die nach k Elementen ausgewählt wurden
- n! - das Faktorium der Zahl n, das dem Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n entspricht
- k! - faktor der Zahl k
- (n-k)! - die Differenzfaktoren der Zahlen n und k
Für unseren Fall, in dem n = 11 (Anzahl der verfügbaren Ziffern) und k = 11 (Anzahl der Ziffern in Kombination) ist, würde die Formel wie folgt aussehen:
Seit 0! gleich 1, die Formel wird vereinfacht zu:
So kann aus 11 Ziffern nur eine Kombination gebildet werden.
Was ist eine Kombination?
Um die Anzahl der Kombinationen zu bestimmen, die aus einem bestimmten Satz von Elementen bestehen können, verwenden Sie eine Kombinatorikformel, die als Kombinationsformel bezeichnet wird. Die Kombinationsformel lautet wie folgt:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Wobei n die Gesamtzahl der Elemente im Satz ist, k die Anzahl der Elemente, aus denen eine Kombination gebildet werden soll, und ! bezeichnet ein Faktorium, dh das Produkt aller Zahlen von 1 bis zu einer gegebenen Zahl.
Beispielsweise können Sie für einen Satz von 3 Elementen (1, 2, 3) die folgenden Kombinationen erstellen: (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2). In diesem Fall ist n = 3 und k = 2, daher ist die Anzahl der Kombinationen C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3.
Die Kenntnis der Kombinatorik und der Kombinationsformel ermöglicht es Ihnen, die Anzahl der Kombinationen für verschiedene Probleme zu finden und sie zur Lösung mathematischer und logischer Probleme zu verwenden.
Formel zur Berechnung der Anzahl der Kombinationen
Nehmen wir die Aufgabe, Kombinationen aus 11 Ziffern zu erstellen.
Sie können die Kombinatorikformel verwenden, um die Anzahl der möglichen Kombinationen in einer solchen Aufgabe zu berechnen. Diese Formel ist wie folgt:
C(m, n) = m! / (n! * (m - n)!),
- C(m, n) - anzahl der Kombinationen aus m Elementen, die nach n Elementen ausgewählt wurden;
- m! - das Faktorium der Zahl m, das dem Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis m entspricht;
- n! - das Faktorium der Zahl n, das dem Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n entspricht;
- (m - n)! - die Differenzfaktorale der Zahlen m und n.
Für unsere Aufgabe ist m = 11 (Gesamtzahl der Ziffern) und n = 11 (Anzahl der Ziffern in jeder Kombination).
Wenn wir die Werte in die Formel einfügen, erhalten wir:
C(11, 11) = 11! / (11! * (11 - 11)!) = 11! / 11! * 0! = 1.
Somit kann aus 11 Ziffern nur eine Kombination gebildet werden, die aus denselben 11 Ziffern besteht.
| m | n | C(m, n) |
|---|---|---|
| 11 | 11 | 1 |
Beispiel 1: Kombinationen von 11 Ziffern ohne Wiederholungen
Betrachten Sie das erste Beispiel für Kombinationen von 11 Ziffern, die ohne Wiederholungen zusammengesetzt sind. In diesem Fall wählen wir 11 Elemente aus einer Vielzahl von Ziffern von 0 bis 9 aus. Jede Ziffer kann nur einmal verwendet werden.
Um die Anzahl der Kombinationen zu berechnen, verwenden wir die Permutationsformel ohne Wiederholungen, da die Reihenfolge der Ziffern in der Kombination von Bedeutung ist.
Die Formel lautet wie folgt:
n!
wo n - anzahl der Elemente in einer Menge. In unserem Fall n = 11.
Wenn wir diese Formel anwenden, erhalten wir:
11! = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 39,916,800
So können aus 11 Ziffern ohne Wiederholungen 39.916.800 Kombinationen gebildet werden.
