Viele von uns, die verschiedene Aufgaben lösen oder Puzzles spielen, stehen oft vor einem Problem wie dem Finden der Anzahl der fünfstelligen Zahlen ohne sich wiederholende Zahlen. Aber wie viele solcher Zahlen gibt es?
Lassen Sie uns zunächst die Grundregeln für das Finden der Anzahl der Kombinationen untersuchen. Wenn wir einen Satz von n Elementen haben und k Elemente daraus auswählen möchten, wobei die Reihenfolge der ausgewählten Elemente keine Rolle spielt, können wir eine Kombinationsformel ohne Wiederholungen verwenden:
Cn k = n! / (k! * (n-k)!)
Wenn wir diese Formel auf unser Problem anwenden, wobei n = 10 ist (da wir eine beliebige Ziffer von 0 bis 9 in einer fünfstelligen Zahl haben können) und k = 5 (da wir 5 Ziffern auswählen müssen, um eine Zahl zu bilden), erhalten wir das folgende Ergebnis:
Was ist die Anzahl der fünfstelligen Zahlen ohne sich wiederholende Ziffern?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die einfachsten Prinzipien der Kombinatorik verwenden. Eine fünfstellige Zahl kann keine doppelten Ziffern enthalten, daher müssen wir fünf verschiedene Ziffern aus der Menge auswählen . Dabei ist uns die Reihenfolge der Wahl der Ziffern wichtig, da die Zahlen 12345 und 54321 als unterschiedlich angesehen werden.
Für die erste Position einer Zahl haben wir 9 Möglichkeiten, eine Ziffer auszuwählen (Sie können keine 0 als führende Ziffer auswählen). Für die zweite Position haben wir noch 9 verfügbare Ziffern (Auswahl der freigegebenen Ziffer minus Null). Es gibt auch 8 Ziffern für die dritte Position, 7 Ziffern für die vierte Position und 6 Ziffern für die fünfte Position.
Als Ergebnis wird die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen ohne doppelte Ziffern gleich sein:
9 * 9 * 8 * 7 * 6 = 27,216
Es gibt also 27.216 verschiedene fünfstellige Zahlen ohne sich wiederholende Ziffern.
Fünfstellige Zahlen ohne doppelte Ziffern
Fünfstellige Zahlen ohne doppelte Ziffern bestehen aus fünf eindeutigen Ziffern: von 0 bis 9. Die Anzahl solcher Zahlen kann anhand der Kombinatorik und der Permutationsprinzipien berechnet werden.
In diesem Fall kann die erste Ziffer einer Zahl zwischen 1 und 9 liegen, da der Wert Null die Anzahl der Ziffern auf vier reduziert. Nach der Auswahl der ersten Ziffer kann die zweite Ziffer einen beliebigen Wert zwischen 0 und 9 annehmen, wobei die bereits ausgewählten Ziffern ausgeschlossen sind. Dies kann als eine Permutation der verbleibenden neun Ziffern an vier Positionen dargestellt werden. Ebenso wird jede nächste Ziffer aus den verbleibenden Ziffern ausgewählt, wobei die bereits ausgewählten Ziffern ausgeschlossen sind.
Die Anzahl der fünfstelligen Zahlen ohne sich wiederholende Ziffern kann also wie folgt berechnet werden:
- Wählen Sie die erste Ziffer – 9 Optionen.
- Wählen Sie die zweite Ziffer – 9 Optionen.
- Wählen Sie die dritte Ziffer – 8 Optionen.
- Wählen Sie die vierte Ziffer – 7 Optionen.
- Wählen Sie die fünfte Ziffer - 6 Optionen.
Daher wäre die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen ohne doppelte Ziffern: 9 * 9 * 8 * 7 * 6 = 27 720 optionen.
Anzahl der fünfstelligen Zahlen ohne doppelte Ziffern
Fünfstellige Zahlen sind Zahlen, die aus fünf Ziffern bestehen, wobei die Zahlen nicht wiederholt werden müssen. Um die Anzahl solcher Zahlen zu bestimmen, müssen Sie jede der fünf Positionen der Zahl berücksichtigen:
| Position | Mögliche Zahlen | Anzahl der Optionen |
|---|---|---|
| 1 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 9 |
| 2 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 10 |
| 3 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 10 |
| 4 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 10 |
| 5 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 10 |
Für jede Position haben wir 10 Varianten von Ziffern, die verwendet werden können, mit Ausnahme der ersten Position, bei der die Ziffer nicht gleich Null sein kann. Daher ist die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen ohne doppelte Ziffern gleich:
9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90 000
Es gibt also 90.000 fünfstellige Zahlen ohne sich wiederholende Ziffern.
