Das Verhältnis der Radien von zwei Kugeln bei einer gegebenen Beziehung zu ihren Volumina

Das Volumenverhältnis von zwei Kugeln kann anhand der Volumenformel einer Kugel gefunden werden, die wie folgt aussieht:

V = (4/3)πr³

wobei V das Volumen der Kugel bezeichnet, π (pi) eine mathematische Konstante ist, die ungefähr 3.14159 entspricht und r den Radius der Kugel ist.

Lassen Sie V₁ und v₂ die Volumina der beiden Kugeln sein, und R₁ und r₂ sind ihre Radien. Gemäß der Bedingung der Aufgabe werden die Ballvolumina als 8: 1 bezeichnet:

Wir können die Volumenformel für beide Kugeln verwenden und das gefundene Volumenverhältnis ersetzen, um die Gleichung relativ zu den Radien zu lösen:

(4/3)πr₁³ / (4/3)πr₂³ = 8/1

Indem wir diese Gleichung vereinfachen, erhalten wir:

r₁³ / r₂³ = 8/1

Jetzt können wir das Verhältnis der Radien finden, indem wir beide Seiten der Gleichung auf die dritte Potenz erhöhen:

Dann extrahieren wir die Wurzel des dritten Grades von beiden Seiten:

Das Verhältnis der Radien der beiden Kugeln kann daher gefunden werden, indem der Radius der zweiten Kugel mit der Kubikwurzel von 8/1 (oder 2) multipliziert wird:

r₁ = 2r₂

Das Verhältnis der Radien der beiden Kugeln beträgt also 2: 1.

Die Volumina der beiden Kugeln beziehen sich auf 8:1

Die Radien der Kugeln können mit der Volumenformel der Kugel gefunden werden:

• Volumen der ersten Kugel: V₁ = (4/3)πr₁ 3
• Volumen der zweiten Kugel: V₂ = (4/3)πr₂ 3

Wenn die Volumina der beiden Kugeln 8: 1 betragen, können Sie das Verhältnis aufzeichnen:

Ersetzen Sie die Volumenwerte der Kugeln in die Formel:

Die Multiplikatoren (4/3)vonπ werden reduziert:

Wir werden beide Teile des Verhältnisses zu einem Würfel errichten und erhalten:

Als nächstes extrahieren wir die kubische Wurzel aus beiden Teilen der Gleichung:

Das Verhältnis der Ballradius beträgt also 2: 1.

Wie finde ich das Verhältnis ihrer Radien?

Das Verhältnis der Radien von zwei Kugeln kann gefunden werden, indem man das Verhältnis ihrer Volumina kennt. Wenn die Volumina der beiden Kugeln 8: 1 betragen, können Sie die folgenden Schritte ausführen, um das Verhältnis ihrer Radien zu finden.

1. Drücken Sie das Volumenverhältnis als Radiusverhältnis aus, indem Sie die Formel für das Volumen der Kugel verwenden: V = (4/3)πr3.

2. Ersetzen Sie bekannte Volumenwerte in die Formel und vereinfachen Sie den Ausdruck.

3. Löse die resultierende Gleichung relativ zu den Radien und finde das Verhältnis R₁:R₂.

Lassen Sie uns zwei Bälle mit den Volumina V₁ und V₂ haben, die sich auf 8:1 beziehen.

Mit der Formel für das Volumen des Balls erhalten wir:

V₁ = (4/3)π₁3 und v = = (4/3)π33

Indem wir die Volumenwerte ersetzen, erhalten wir:

V₁/V₂ = (4/3)πr₁³ / (4/3)πr₂³ = 8/1

Indem wir den Ausdruck vereinfachen, erhalten wir:

Wenn wir beide Teile der Gleichung in einen Würfel errichten, erhalten wir:

Indem wir die kubische Wurzel aus beiden Teilen der Gleichung extrahieren, erhalten wir:

Das Verhältnis der Radien dieser beiden Kugeln beträgt also 2:1.